Partielle Ableitungen: Aufgaben mit vollständigen Lösungen

Bestimmen Sie beide partiellen Ableitungen von $f(x,y)=x^2y+3y^2$. Wenn Ihre Antworten $2x$ und $6y$ lauten, haben Sie einen Koeffizienten und einen ganzen Term verloren. Eine Variable konstant zu halten heißt, sie wie eine Zahl zu behandeln, nicht jeden Term mit dieser Variablen zu streichen. Richtig sind $f_x=2xy$ und $f_y=x^2+6y$.

Diese Aufgabensammlung beginnt mit diesem Fehler und führt zu Produkten, verschachtelten Funktionen, gemischten Ableitungen und Zahlenproben. Versuchen Sie jede Aufgabe selbst, bevor Sie die Lösung lesen. Schreiben Sie die festgehaltene Variable neben Ihre erste Zeile. Diese kleine Notiz macht viele falsche Antworten leichter erkennbar.

Die Vorstellung hinter der Rechnung erklärt der intuitive Leitfaden zu partiellen Ableitungen. Hier geht es um die Algebra und die Kontrolle der Ergebnisse, nicht noch einmal um die Einführung von Flächen und Gradienten.

Die Regel über jeder Rechnung

Für $f_x$ leiten Sie nach $x$ ab und behandeln $y$ als Konstante. Für $f_y$ vertauschen Sie die Rollen. Die Definition partieller Ableitungen in OpenStax macht die festgehaltene Eingabe im Differenzenquotienten ausdrücklich sichtbar. Für die veränderliche Eingabe gelten dann die gewöhnlichen Ableitungsregeln.

Ist zum Beispiel $y$ fest, dann ist $y^2$ eine Konstante. Dagegen ist $xy^2$ eine Konstante mal $x$. Ihre Ableitungen nach $x$ sind deshalb verschieden:

$$\frac{\partial}{\partial x}(y^2)=0, \qquad \frac{\partial}{\partial x}(xy^2)=y^2.$$

Setzen Sie nicht beide Koordinaten vor dem Ableiten ein. Ein vollständig eingesetzter Punkt macht aus dem Ausdruck eine Zahl und beseitigt die Änderung in seiner Umgebung, die Sie brauchen. Leiten Sie zuerst ab und werten Sie dann aus. Nur die festgehaltene Koordinate einzusetzen ist dagegen zulässig und liefert eine nützliche unabhängige Kontrolle.

Aufgabe 1: Polynom mit zwei unabhängigen Eingaben

Bestimmen Sie $f_x$ und $f_y$ für

$$f(x,y)=2x^3y-5xy^2+7y,$$

und werten Sie beide bei $(1,2)$ aus.

Nach x: Halten Sie $y$ fest. Die Koeffizienten von $x^3$ und $x$ sind $2y$ und $-5y^2$. Der letzte Term verändert sich nicht:

$$f_x=6x^2y-5y^2.$$

Nach y: Halten Sie $x$ fest. Der erste Term ist linear in $y$, der zweite quadratisch, der dritte wieder linear:

$$f_y=2x^3-10xy+7.$$

Am gefragten Punkt gilt

$$f_x(1,2)=12-20=-8, \qquad f_y(1,2)=2-20+7=-11.$$

Beide Ableitungen sind dort negativ. Ihre Vorzeichen allein verraten den Funktionswert nicht: Höhe und Steigung sind verschiedene Größen. Für eine unabhängige Kontrolle der ersten Antwort setzen Sie $y=2$ in die ursprüngliche Funktion ein. Sie erhalten $4x^3-20x+14$ mit der gewöhnlichen Ableitung $12x^2-20$. Bei $x=1$ ist sie wieder $-8$.

Aufgabe 2: Produkt und Exponentialfunktion

Bestimmen Sie beide partiellen Ableitungen von

$$g(x,y)=x^2e^{xy}.$$

Bei $g_x$ hängen beide Faktoren von $x$ ab. Wenden Sie deshalb die Produktregel an. Für die Exponentialfunktion kommt die Kettenregel hinzu: Bei festem $y$ ist die Ableitung von $xy$ gleich $y$.

$$g_x=2xe^{xy}+x^2e^{xy}y =e^{xy}(2x+x^2y).$$

Bei $g_y$ ist der Faktor $x^2$ konstant. Nur die Exponentialfunktion verändert sich, und die Ableitung ihres Exponenten nach $y$ ist $x$:

$$g_y=x^2e^{xy}x=x^3e^{xy}.$$

Bei $(1,0)$ folgt $g_x=2$ und $g_y=1$. Die häufige falsche Antwort $g_x=2xe^{xy}$ leitet nur den ersten Faktor ab und übersieht, dass auch der zweite von $x$ abhängt. Ein anderer Fehler ersetzt die innere Ableitung in beiden Rechnungen durch 1. Dadurch geht der Unterschied zwischen $x$ und $y$ verloren.

Falls Sie mehr Übung beim Erkennen einer inneren Funktion brauchen, trennen die Beispiele zur Kettenregel die einzelnen Ebenen, bevor sie die Faktoren wieder zusammenführen.

Aufgabe 3: Logarithmen, Brüche und Definitionsbereich

Es sei

$$h(x,y)=\ln(x^2+2y^2).$$

Für den Logarithmus muss $x^2+2y^2>0$ gelten. Der Ursprung ist deshalb ausgeschlossen. Überall sonst leiten Sie den inneren Ausdruck ab und teilen durch ihn:

$$h_x=\frac{2x}{x^2+2y^2}, \qquad h_y=\frac{4y}{x^2+2y^2}.$$

Bei $(2,1)$ ist der Nenner 6, sodass beide Ableitungen $2/3$ ergeben. Diese Gleichheit gilt nur an diesem Punkt. Sie bedeutet nicht, dass die beiden Ableitungsfunktionen identisch sind.

Der Nenner ist ein Warnsignal. Weder die ursprüngliche Funktion noch diese Formeln sind bei $(0,0)$ definiert. Eine Rechnung, die dort null ausgibt, hat in einen undefinierten Bruch eingesetzt. Prüfen Sie vor dem Auswerten den Definitionsbereich, besonders bei Aufgaben mit Wurzeln, Logarithmen und Quotienten.

Aufgabe 4: gemischte Ableitungen in beiden Reihenfolgen

Betrachten Sie

$$p(x,y)=x^2y^3+\sin(xy).$$

In diesem Leitfaden bedeutet $p_{xy}$: erst nach $x$, dann nach $y$ ableiten. Schreiben Sie die erste Ableitung hin, damit die Reihenfolge eindeutig ist:

$$p_x=2xy^3+y\cos(xy).$$

Nun leiten Sie diesen Ausdruck nach $y$ ab. Für den zweiten Term benötigen Sie die Produktregel:

$$p_{xy}=6xy^2+\cos(xy)-xy\sin(xy).$$

Rechnen Sie in umgekehrter Reihenfolge:

$$p_y=3x^2y^2+x\cos(xy),$$ $$p_{yx}=6xy^2+\cos(xy)-xy\sin(xy).$$

Die Ergebnisse stimmen überein. Alle hier benötigten Ableitungen sind stetig, sodass die Gleichheit auch nach dem in OpenStax beschriebenen Satz über gemischte Ableitungen zu erwarten ist. Machen Sie daraus keine bedingungslose Regel für jede denkbare Funktion. Bei glatten Standardaufgaben ist es eine gute Kontrolle; an einer Stelle ohne die erforderliche Regularität zählen die Voraussetzungen des Satzes.

Aufgabe 5: eine dritte Variable ist ein weiterer fester Eingang

Für

$$q(x,y,z)=xy^2+z\cos x,$$

sind alle drei ersten partiellen Ableitungen gesucht. Wenn jeweils zwei Eingaben festgehalten werden, erhält man

$$q_x=y^2-z\sin x, \qquad q_y=2xy, \qquad q_z=\cos x.$$

Bei $(0,2,3)$ sind die Werte 4, 0 und 1. Die Null in der Mitte bedeutet nicht, dass die Funktion nie von $y$ abhängt. Sie besagt, dass die Änderungsrate erster Ordnung in dieser Richtung genau an diesem Punkt null ist. Setzen Sie $x=0$ in den ursprünglichen Ausdruck ein: Der Schnitt ist tatsächlich einfach $q=3$, wenn $z=3$.

Zahlenprobe gegen einen fehlenden Faktor

Kehren Sie zu Aufgabe 1 bei $(1,2)$ zurück. Halten Sie $y=2$ fest, wählen Sie eine kleine positive Zahl $s$ und berechnen Sie die zentrale Differenz

$$\frac{f(1+s,2)-f(1-s,2)}{2s}.$$

Für dieses Polynom ergibt das Ausmultiplizieren genau $-8+4s^2$. Damit erhalten Sie folgende Kontrollen:

Dies ist eine Kontrolle einer symbolischen Antwort, kein Beweis für eine Ableitungsformel. Außerdem prüft sie nur den gewählten Punkt. Wenn Sie versehentlich beide Koordinaten im Zähler ändern, messen Sie entlang eines anderen Wegs. Bei Gleitkommaarithmetik kann ein extrem kleiner Schritt einen Auslöschungsfehler verursachen. Mehr Nullen verbessern die Probe also nicht immer.

Falsche Antwort diagnostizieren statt neu anfangen

Nutzen Sie die Tabelle, um genau den falschen Schritt zu korrigieren, statt die gesamte Rechnung neu zu schreiben. Falls die gewöhnlichen Ableitungsregeln noch Probleme bereiten, ist die Einführung in Ableitungen der passende Stoff zur Wiederholung.

Zwei weitere Aufgaben, dann Lösungen vergleichen

Übung A. Bestimmen Sie $r_x$ und $r_y$ für $r(x,y)=3x^2y+y^4$ und werten Sie bei $(2,-1)$ aus.

Die Ableitungen lauten $r_x=6xy$ und $r_y=3x^2+4y^3$. Am Punkt erhalten Sie $-12$ und $8$. Der Term $y^4$ verschwindet nur bei der x-Ableitung. Zur y-Ableitung trägt er $4y^3=-4$ bei.

Übung B. Bestimmen Sie beide ersten partiellen Ableitungen von $s(x,y)=\cos(2x-y)$ und werten Sie bei $(0,0)$ aus.

Die Kettenregel liefert $s_x=-2\sin(2x-y)$ und $s_y=\sin(2x-y)$. Das positive Vorzeichen der zweiten Antwort entsteht durch zwei Minuszeichen: eines beim Ableiten des Kosinus, das andere beim Ableiten von $2x-y$ nach $y$. Im Ursprung sind beide Werte null, obwohl sich die Formeln unterscheiden.

Wenn diese Rechnungen gelingen, machen Sie mit Übungen zu partiellen Ableitungen weiter. Notieren Sie kurz, welchen Fehlertyp Sie korrigiert haben: festen Eingang, Produktregel, innere Ableitung oder zu frühes Einsetzen. So wissen Sie, welche Aufgabenart Sie als Nächstes wiederholen sollten.