Sinussatz oder Kosinussatz: Welchen Satz Sie wann verwenden

Ein Vermesser kennt zwei Seiten eines Grundstücks und den Winkel dazwischen und braucht die dritte Seite. Ein Pilot kennt zwei Winkel eines Dreiecks, das er mit zwei Funkfeuern bildet, und eine Entfernung. Keines der beiden Dreiecke hat einen rechten Winkel, SOH CAH TOA hilft also nicht weiter. Das sind die Aufgaben von Sinussatz und Kosinussatz, den beiden Regeln, mit denen sich jedes Dreieck lösen lässt, sobald drei seiner Stücke bekannt sind (sofern eines davon eine Seite ist).

Schwierig ist selten die Formel. Schwierig ist die Wahl des richtigen Satzes und das Erkennen der einen Situation, in der der Taschenrechner stillschweigend einen falschen Winkel ausgibt. Dieser Leitfaden beginnt mit einer Entscheidungstabelle, rechnet je ein Beispiel für jeden Fall und führt dann ein einziges Dreieck durch alle Ausgänge des mehrdeutigen Falls, indem nur eine Seite verändert wird. Wenn Sinus und Kosinus sich noch wie Tasten statt wie Ideen anfühlen, erklärt der Leitfaden zur Trigonometrie sie zuerst von Grund auf.

Bezeichnungen im gesamten Text: Die Winkel A, B, C liegen den Seiten a, b, c gegenüber.

Welchen Satz Sie verwenden: Gehen Sie von den gegebenen Stücken aus

Jede lösbare Dreiecksaufgabe gibt drei Stücke vor. Benennen Sie das Muster, und der Satz ergibt sich:

Gegebene Stücke, Satz, zuerst gesuchte Größe

Gegeben	Muster	Satz	Zuerst bestimmen
Zwei Winkel und eine Seite, die nicht dazwischen liegt	WWS	Sinussatz	Dritten Winkel (180° minus die beiden anderen), dann die Seiten
Zwei Winkel und die Seite dazwischen	WSW	Sinussatz	Dritten Winkel, dann die Seiten
Zwei Seiten und ein Winkel, der nicht dazwischen liegt	SSW	Sinussatz, mit Vorsicht	Den Winkel gegenüber der zweiten bekannten Seite; prüfen, ob 0, 1 oder 2 Dreiecke passen
Zwei Seiten und der Winkel dazwischen	SWS	Kosinussatz	Die dritte Seite
Alle drei Seiten	SSS	Kosinussatz	Den größten Winkel (gegenüber der längsten Seite)
Drei Winkel	WWW	Keiner von beiden	Keine eindeutige Lösung: ähnliche Dreiecke jeder Größe passen

Diese Aufteilung folgt dem Lehrbuch OpenStax Precalculus: Der Sinussatz deckt WSW, WWS und SSW ab, und der Kosinussatz ist das Werkzeug für die zwei Fälle, die der Sinussatz nicht bewältigt, SWS und SSS (OpenStax, Sinussatz; OpenStax, Kosinussatz).

Der Grund ist an den Formeln leicht zu erkennen. Der Sinussatz vergleicht jede Seite mit ihrem gegenüberliegenden Winkel:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$

Um ihn anzuwenden, brauchen Sie mindestens ein vollständiges Paar: eine Seite zusammen mit dem Winkel, der ihr gegenüberliegt. SWS und SSS liefern nie ein vollständiges Paar, also brauchen Sie zum Einstieg eine andere Regel.

Der Kosinussatz: Pythagoras plus eine Korrektur

Der Kosinussatz lautet in seinen drei Formen

$$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\cos A$$ $$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2ac\cos B$$ $$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab\cos C$$

Betrachten Sie die letzte Gleichung mit $C = 90^{\circ}$. Dann ist $\cos C = 0$, der letzte Term verschwindet, und es bleibt $a^{2} + b^{2} = c^{2}$. Der Kosinussatz ist der Satz des Pythagoras mit einem Korrekturterm für Winkel, die nicht rechte Winkel sind. OpenStax nennt die Identität, von der es ausgeht, den „verallgemeinerten Satz des Pythagoras“. Die Idee ist alt: Die Sätze 12 und 13 in Buch II von Euklids Elementen beweisen sie für stumpfwinklige und spitzwinklige Dreiecke in rein geometrischer Sprache, lange bevor es den Kosinus gab (Euklid II.12, Ausgabe der Clark University).

Die Korrektur hat eine klare Bedeutung. Ist C spitz, ist $\cos C$ positiv, und c fällt kürzer aus als der pythagoreische Wert. Ist C stumpf, ist $\cos C$ negativ, und das Minuszeichen macht aus der Korrektur eine Addition, sodass c länger ausfällt. Öffnen Sie den Winkel, und die gegenüberliegende Seite wird länger; schließen Sie ihn, und sie schrumpft.

Durchgerechnetes Beispiel zu SWS

Zwei Seiten sind $b = 8$ und $c = 11$, der Winkel dazwischen ist $A = 40^{\circ}$. Bestimmen Sie die übrigen Stücke.

Dritte Seite. Setzen Sie in die Form ein, die den bekannten Winkel enthält:

$$a^{2} = 8^{2} + 11^{2} - 2(8)(11)\cos 40^{\circ} = 185 - 134.82 = 50.18$$

also $a \approx 7.08$. Zum Vergleich: Ein rechter Winkel bei A hätte $\sqrt{185} \approx 13.60$ ergeben; der Winkel von 40° halbiert das fast.

Übrige Winkel. Jetzt gibt es ein vollständiges Paar (a mit A), also funktioniert der Sinussatz. Lösen Sie nach dem Winkel auf, der der kürzeren der beiden anderen Seiten gegenüberliegt, das ist b:

$$\sin B = \frac{8 \sin 40^{\circ}}{7.08} \approx 0.7260, \quad B \approx 46.55^{\circ}$$

Dann ist $C = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 46.55^{\circ} = 93.45^{\circ}$.

Beachten Sie, dass C stumpf ist. Hätten Sie den Sinussatz stattdessen für C verwendet, hätte der Arkussinus des Taschenrechners 86,55° geliefert, den spitzen Winkel mit demselben Sinus, und jede weitere Zahl wäre falsch gewesen. Wer zuerst den kleineren Winkel bestimmt, vermeidet das: In jedem Dreieck liegt der kleinere Winkel der kürzeren Seite gegenüber, und höchstens ein Winkel kann 90° oder mehr betragen, sodass der Winkel gegenüber der kürzeren Seite immer spitz ist.

Dieselben Angaben liefern auch direkt den Flächeninhalt, nämlich als Hälfte des Produkts zweier Seiten mal dem Sinus des eingeschlossenen Winkels (die Flächenformel aus dem OpenStax-Abschnitt zum Sinussatz): $\tfrac{1}{2}(8)(11)\sin 40^{\circ} \approx 28.28$.

SSS: Zuerst den größten Winkel bestimmen

Sind alle drei Seiten gegeben, stellen Sie den Kosinussatz so um, dass der Kosinus allein steht:

$$\cos C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2ab}$$

Nehmen Sie das Dreieck mit den Seiten 5, 7 und 9. Die längste Seite ist 9, beginnen Sie also mit dem Winkel, der ihr gegenüberliegt:

$$\cos C = \frac{25 + 49 - 81}{2(5)(7)} = \frac{-7}{70} = -0.1, \quad C \approx 95.74^{\circ}$$

Der negative Kosinus zeigt sofort, dass C stumpf ist. Jetzt ist der Sinussatz für die anderen sicher, denn die beiden übrigen Winkel müssen spitz sein:

$$\sin A = \frac{5 \sin 95.74^{\circ}}{9} \approx 0.5528, \quad A \approx 33.56^{\circ}$$

und $B = 180^{\circ} - 95.74^{\circ} - 33.56^{\circ} = 50.70^{\circ}$. Eine Kontrolle mit dem Kosinussatz für B ergibt ebenfalls 50,70°.

In der anderen Reihenfolge tritt die Falle auf. Bestimmen Sie zuerst A und dann C mit dem Sinussatz: Sie erhalten $\sin C \approx 0.9950$, und der Arkussinus liefert 84,26°. Der wahre Winkel ist sein Supplementwinkel, 95,74°. Die Kursunterlagen der University of Houston sagen es klar: Wenn man die Wahl hat, sei es meist am besten, zuerst den größten Winkel zu bestimmen („it is usually best to find the largest angle first“) (UH Math 1330, Abschnitt 7.3).

Der Sinussatz: WWS und WSW

Kennen Sie zwei Winkel, ist der dritte geschenkt: Sie ergeben zusammen 180°. Danach ist der Sinussatz eine einfache Proportion.

Angenommen, $A = 40^{\circ}$, $B = 60^{\circ}$ und $a = 10$. Dann ist $C = 80^{\circ}$, und das gemeinsame Verhältnis lautet

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{10}{\sin 40^{\circ}} \approx 15.557$$

Multiplizieren Sie es mit jedem Sinus: $b \approx 15.557 \times \sin 60^{\circ} \approx 13.47$ und $c \approx 15.557 \times \sin 80^{\circ} \approx 15.32$.

Hier ist nichts mehrdeutig, denn jeder Winkel wurde durch Subtraktion gefunden, nicht durch einen Arkussinus. WSW funktioniert genauso: Subtrahieren Sie, um den dritten Winkel zu erhalten, dann haben Sie eine Seite mit ihrem gegenüberliegenden Winkel, und die Proportion erledigt den Rest.

Der mehrdeutige Fall (SSW): ein Dreieck, drei Ausgänge

Bei SSW verlieren Schüler Punkte. OpenStax beschreibt SSW als den Fall, in dem solche Angaben „eine oder zwei Lösungen oder sogar keine Lösung“ ergeben können („may result in one or two solutions, or even no solution“). Am klarsten sieht man den Grund, wenn man alles festhält und nur eine Seite verändert.

Legen Sie den Winkel $A = 30^{\circ}$ und die Seite $b = 10$ fest. Stellen Sie sich vor, die Seite b liegt am Boden von der Ecke C zur Ecke A, mit dem Winkel von 30° bei A. Die Seite a hängt an C und schwingt wie ein Tor, bis sie auf der Geraden landet, die von A ausgeht. Ob sie landet und wo, hängt nur von ihrer Länge ab.

Die entscheidende Länge ist die Höhe von C auf diese Gerade:

$$h = b \sin A = 10 \sin 30^{\circ} = 5$$

Verändern Sie nun nur a. Jede Zeile der folgenden Tabelle wurde mit $\sin B = \dfrac{b \sin A}{a}$ berechnet und auf 12 signifikante Stellen geprüft:

SSW-Ausgänge für A = 30°, b = 10

Seite a	Verglichen mit h = 5 und b = 10	$\sin B$	Dreiecke	Winkel B	Winkel C	Seite c
4	kürzer als h	1,25	0	keiner	keiner	keine
5	gleich h	1	1	90°	60°	8,66
8	zwischen h und b	0,625	2	38,68° oder 141,32°	111,32° oder 8,68°	14,91 oder 2,42
12	mindestens b	0,4167	1	24,62°	125,38°	19,57

Lesen Sie Zeile für Zeile:

• a = 4. Das Tor ist kürzer als die Höhe, erreicht den Boden also nie. Die Algebra sagt dasselbe: $\sin B = 1.25$, und kein Winkel hat einen Sinus über 1. Kein Dreieck.
• a = 5. Das Tor berührt den Boden gerade eben, senkrecht nach unten. Ein Dreieck, mit einem rechten Winkel bei B.
• a = 8. Das Tor ist länger als die Höhe, aber kürzer als b, sodass es den Boden in zwei Punkten berührt, einen auf jeder Seite des Höhenfußpunkts. Beide sind echte Dreiecke. Der Arkussinus liefert 38,68°; die andere Lösung ist sein Supplementwinkel, $180^{\circ} - 38.68^{\circ} = 141.32^{\circ}$, und da $30^{\circ} + 141.32^{\circ} < 180^{\circ}$ ist, bleibt Platz für einen dritten Winkel. Sie erhalten ein breites Dreieck mit c = 14,91 und ein schlankes mit c = 2,42.
• a = 12. Das Tor ist länger als b, sein zweiter Landepunkt läge also hinter A, außerhalb des Dreiecks. Der Supplementwinkel 155,38° plus 30° überschreitet bereits 180°, er wird verworfen. Ein Dreieck.

Diese Bedingungen entsprechen den vier Bildern im OpenStax-Abschnitt: a kürzer als die Höhe ergibt kein Dreieck, a gleich der Höhe ein rechtwinkliges Dreieck, a zwischen der Höhe und b zwei Dreiecke, und a mindestens so lang wie b ein Dreieck (für einen spitzen Winkel A).

Die Routine zum Merken: Notieren Sie nach jedem Arkussinus bei SSW auch den Supplementwinkel und prüfen Sie, ob er zusammen mit dem gegebenen Winkel passt. Wenn ja, gibt es zwei Lösungen, und die Aufgabe verlangt meist beide. Ist A selbst stumpf, ist das Bild einfacher: a muss länger als b sein, sonst gibt es gar kein Dreieck.

Häufige Fehler

Den Sinussatz bei SWS oder SSS verwenden. Ohne ein vollständiges Paar aus Seite und gegenüberliegendem Winkel hat die Proportion zwei Unbekannte. Beginnen Sie mit dem Kosinussatz.

Das zweite SSW-Dreieck vergessen. Der Taschenrechner liefert nur den spitzen Arkussinus. Prüfen Sie immer auch den Supplementwinkel.

Einen stumpfen Winkel mit dem Arkussinus bestimmen. Bestimmen Sie bei SWS und SSS den größten Winkel mit dem Kosinussatz, oder bestimmen Sie zuerst die kleineren Winkel mit dem Sinussatz.

Taschenrechner im Bogenmaß. $\cos 40$ im Bogenmaß beträgt etwa $-0.667$, nicht $0.766$. Fällt eine Seite länger aus als die Summe der beiden anderen, prüfen Sie den Modus.

Zu früh runden. Behalten Sie für die gefundene Seite die volle Genauigkeit, bevor Sie sie im nächsten Schritt verwenden; die obigen Ergebnisse wurden mit voller Genauigkeit gerechnet und erst am Ende gerundet.

Übungsaufgaben

Versuchen Sie jede Aufgabe, bevor Sie die Lösung lesen.

1. SWS. $b = 6$, $c = 9$, $A = 60^{\circ}$. Bestimmen Sie a.
2. SSS. Ein Dreieck hat die Seiten 4, 6 und 8. Bestimmen Sie seinen größten Winkel.
3. SSW. $A = 40^{\circ}$, $b = 12$, $a = 9$. Wie viele Dreiecke passen, und welche Werte kann c annehmen?

Lösungen.

1. $a^{2} = 36 + 81 - 108\cos 60^{\circ} = 63$, also $a = \sqrt{63} \approx 7.94$.
2. Der größte Winkel liegt der Seite 8 gegenüber: $\cos C = \dfrac{16 + 36 - 64}{48} = -0.25$, also $C \approx 104.48^{\circ}$.
3. Die Höhe beträgt $12 \sin 40^{\circ} \approx 7.71$, und 9 liegt zwischen 7,71 und 12, also gibt es zwei Dreiecke. $\sin B \approx 0.8571$ ergibt $B \approx 58.99^{\circ}$ oder $121.01^{\circ}$, dann $C \approx 81.01^{\circ}$ oder $18.99^{\circ}$ und $c \approx 13.83$ oder $4.56$.

Die Trigonometrie-Übungen von Math Zen enthalten Sinussatz und Kosinussatz neben trigonometrischen Verhältnissen, Identitäten und Umkehrfunktionen, mit bei jedem Versuch neuen Zahlen, sodass die Wahl zwischen den beiden Sätzen zur Routine wird. Derselbe Kosinus taucht im Skalarprodukt wieder auf, das der Leitfaden zu Vektoren als natürlichen nächsten Schritt erklärt.

Häufig gestellte Fragen

Wann verwendet man den Sinussatz und wann den Kosinussatz?

Verwenden Sie den Sinussatz für WWS, WSW und SSW. Verwenden Sie den Kosinussatz für SWS und SSS, wo keine Seite mit ihrem gegenüberliegenden Winkel vorliegt.

Ist der Kosinussatz dasselbe wie der Satz des Pythagoras?

Er ist die allgemeine Version. Setzen Sie den Winkel auf 90°, und der Term $-2ab\cos C$ entfällt, sodass $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ übrig bleibt.

Was ist der mehrdeutige Fall des Sinussatzes?

SSW-Angaben können kein, ein oder zwei Dreiecke beschreiben. Vergleichen Sie die Seite a mit der Höhe $h = b \sin A$ und mit der Seite b, um zu erkennen, welcher Fall vorliegt.

Warum sollte ich zuerst den größten Winkel bestimmen?

Ein Winkel und sein Supplementwinkel haben denselben Sinus, sodass ein Arkussinus 84° nicht von 96° unterscheiden kann. Der größte Winkel ist der einzige, der stumpf sein kann; bestimmen Sie ihn mit dem Kosinussatz, dann sind die übrigen sicher.