Binomialverteilung: Beispiele für genau, mindestens und höchstens

Stellen Sie sich vor, Sie werfen eine Münze fünfmal und möchten genau dreimal Kopf erhalten. Die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Folge wie KKZKZ lässt sich leicht berechnen, wobei K für Kopf und Z für Zahl steht. Doch KKZKZ ist nur eine von mehreren Folgen mit drei Köpfen. Eine Binomialrechnung erledigt beides: Sie ermittelt die Wahrscheinlichkeit einer Folge und zählt alle Folgen, die Ihre Bedingung erfüllen.

Diese Beispiele zur Binomialverteilung zeigen, wie Sie eine genaue Anzahl, mindestens einen Erfolg und höchstens zwei Erfolge berechnen. Prüfen Sie vor dem Einsatz der Formel, ob die Situation überhaupt dazu passt. Eine sanftere Einführung in die Sprache des Zufalls finden Sie in unserem Artikel über Wahrscheinlichkeit.

Die vier Bedingungen der Binomialverteilung prüfen

Das Binomialmodell zählt Erfolge bei wiederholten Versuchen. Die OpenStax-Lektion zur Binomialverteilung beschreibt ein Modell, das wir anhand von vier Punkten prüfen können:

1. Feste Anzahl von Versuchen: Legen Sie $n$ fest, bevor Sie die Ergebnisse beobachten.
2. Zwei Ergebnisse je Versuch: Bezeichnen Sie die Ergebnisse für Ihre Fragestellung als Erfolg oder Misserfolg.
3. Unabhängige Versuche: Das Ergebnis eines Versuchs verändert die Wahrscheinlichkeit eines anderen nicht.
4. Konstante Erfolgswahrscheinlichkeit: Bei jedem Versuch gilt dasselbe $p$.

Sind alle vier Bedingungen erfüllt, bezeichne $X$ die Zahl der Erfolge. $X$ kann dann jede ganze Zahl von null bis $n$ annehmen. Das Wort Erfolg bedeutet nicht, dass das Ergebnis erfreulich ist. Wenn Sie fehlerhafte Bauteile zählen, kann ein fehlerhaftes Teil mathematisch ein Erfolg sein, weil Sie genau dieses Ereignis zählen möchten.

Betrachten Sie fünf unabhängige Fragen, bei denen jede Antwort mit der Wahrscheinlichkeit $p=0.4$ richtig ist. Wir legen fünf Fragen fest, nennen eine richtige Antwort Erfolg, nehmen Unabhängigkeit an und lassen die Chance jedes Mal bei 0,4. Das ist eine binomial verteilte Situation.

Die Wahrscheinlichkeitsformel herleiten

Für genau $k$ Erfolge in $n$ Versuchen beginnen wir mit einer einzelnen Anordnung. Beträgt die Erfolgswahrscheinlichkeit $p$, so ist die Misserfolgswahrscheinlichkeit $1-p$. Wegen der Unabhängigkeit hat eine Anordnung mit $k$ Erfolgen und $n-k$ Misserfolgen die Wahrscheinlichkeit $p^k(1-p)^{n-k}$.

Nun zählen wir die Anordnungen. Es gibt $\binom{n}{k}$ Möglichkeiten, die $k$ Positionen der Erfolge auszuwählen. Jede hat dieselbe Wahrscheinlichkeit. Daher gilt:

$$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k},\qquad \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$$

Für drei Erfolge in fünf Versuchen gibt es beispielsweise $\binom{5}{3}=10$ Anordnungen. Sie müssen nicht alle auflisten. Falls Ihnen dieser Zählfaktor noch fremd ist, erklärt unser Artikel über Permutationen und Kombinationen, warum die Wahl von Positionen eine Kombination und kein Reihenfolgeproblem ist.

Als grobe Größenkontrolle gilt für das Modell: Die mittlere Erfolgszahl ist $np$, die Varianz $np(1-p)$, wie OpenStax angibt. Beide Werte beschreiben die gesamte Verteilung und ersetzen nicht die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl. Den Unterschied zwischen Varianz und Standardabweichung erklärt dieser Leitfaden.

Beispiel 1: genau drei Erfolge

Kehren wir zu den fünf unabhängigen Fragen zurück, bei denen eine richtige Antwort jeweils $p=0.4$ hat. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für genau drei richtige Antworten. Die Anzahl der Versuche ist $n=5$ und die gewünschte Erfolgszahl $k=3$. Setzen Sie diese Werte ein, bevor Sie zum Taschenrechner greifen:

$$\begin{aligned} P(X=3)&=\binom{5}{3}(0.4)^3(0.6)^2\\ &=10(0.064)(0.36)\\ &=0.2304. \end{aligned}$$

Die Wahrscheinlichkeit beträgt also $23.04\%$. Der Faktor $10$ zählt, an welchen Stellen die drei richtigen Antworten auftreten können. Ohne ihn wäre $0.02304$ nur die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Folge, etwa richtig, richtig, falsch, richtig, falsch. Dieser Zählfaktor fehlt besonders häufig bei Aufgaben mit genau vorgegebener Erfolgszahl.

Auch die Exponenten prüfen den Ansatz: Drei Erfolge plus zwei Misserfolge ergeben fünf Versuche. Wenn Ihre Exponenten zusammen nicht $n$ ergeben, halten Sie vor dem Rechnen inne. Behalten Sie die genaue Dezimalzahl $0.2304$ für weitere Schritte und runden Sie erst beim fertigen Ergebnis.

Beispiel 2: mindestens ein Erfolg

Angenommen, vier unabhängige Versuche haben jeweils die Erfolgswahrscheinlichkeit $0.3$. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Erfolg. Dazu gehören ein, zwei, drei oder vier Erfolge. Sie könnten vier Binomialterme addieren. Kürzer ist das Gegenereignis: null Erfolge.

$$\begin{aligned} P(X\geq1)&=1-P(X=0)\\ &=1-\binom{4}{0}(0.3)^0(0.7)^4\\ &=1-0.2401=0.7599. \end{aligned}$$

Das Ergebnis ist $75.99\%$. Formulieren Sie das Gegenereignis in Worten, bevor Sie es wählen: „Mindestens eins“ tritt nur dann nicht ein, wenn es keinen Erfolg gibt. Bei „mindestens zwei“ gehören dagegen null und ein Erfolg zum Gegenereignis. Wenn Sie dort nur $P(X=0)$ abziehen, erhalten Sie eine falsche Antwort.

Beachten Sie $P(X=0)=(1-p)^n$. Der Kombinationsfaktor ist eins, denn es gibt genau eine Anordnung ohne Erfolg. Diese Abkürzung funktioniert, weil alle Versuche dieselbe Erfolgswahrscheinlichkeit haben und unabhängig sind.

Beispiel 3: höchstens zwei Erfolge

Stellen Sie sich jetzt sechs unabhängige Versuche vor, jeweils mit der Erfolgswahrscheinlichkeit $p=0.25$. „Höchstens zwei“ bedeutet null, einen oder zwei Erfolge. Addieren Sie genau diese drei einander ausschließenden Fälle:

$$\begin{aligned} P(X\leq2)&=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\\ &=\binom{6}{0}(0.25)^0(0.75)^6 +\binom{6}{1}(0.25)^1(0.75)^5 +\binom{6}{2}(0.25)^2(0.75)^4\\ &=0.177978515625+0.35595703125+0.296630859375\\ &=0.83056640625\approx0.8306. \end{aligned}$$

Das sind ungefähr $83.06\%$. Die direkte Summe hat hier drei Terme. Das Gegenereignis $1-P(X\geq3)$ bräuchte vier Terme und ist daher umständlicher. Vergleichen Sie bei größeren Grenzen die Anzahl der Terme auf beiden Seiten und berechnen Sie die kürzere Summe. Eine Funktion für kumulierte Binomialwahrscheinlichkeiten im Taschenrechner kann helfen, doch die Ungleichung müssen Sie trotzdem richtig einstellen. $P(X\leq2)$ schließt zwei ein, $P(X<2)$ nicht.

Runden Sie Zwischenergebnisse zu früh, kann sich die letzte Dezimalstelle der Summe ändern. Rechnen Sie mit voller Genauigkeit weiter und runden Sie erst die Endwahrscheinlichkeit wie verlangt. Das Ergebnis muss zwischen null und eins liegen.

Eine Situation ohne Binomialverteilung

Sie ziehen aus einem Standardkartenspiel drei Karten ohne Zurücklegen und zählen Asse. Die Zahl der Ziehungen steht fest, und jede Karte lässt sich als Ass oder Nicht-Ass einordnen. Doch nach der ersten Ziehung hat sich der Stapel verändert. War die erste Karte ein Ass, beträgt die Wahrscheinlichkeit für das nächste Ass $3/51$; andernfalls beträgt sie $4/51$. Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist also nicht mehr konstant, und die Ziehungen sind abhängig. Die Binomialformel mit $n=3$ und $p=4/52$ ist deshalb kein exaktes Modell.

Wenn Sie jede Karte zurücklegen und vor der nächsten Ziehung neu mischen, wären in diesem vereinfachten Beispiel die konstante Wahrscheinlichkeit und die Unabhängigkeit wiederhergestellt. Diese Unterscheidung ist wichtiger als das Auswendiglernen einer Formel: Klären Sie zuerst, was gezogen wird und ob ein Versuch den nächsten verändert.

Drei Aufgaben mit vollständigen Lösungen

1. Genau zwei. Ein Spiel hat fünf unabhängige Runden. Die Gewinnchance beträgt in jeder Runde $0.2$. Wie wahrscheinlich sind genau zwei Gewinne?

Lösung: $n=5$, $k=2$ und $p=0.2$. Für zwei Gewinne gibt es $\binom{5}{2}=10$ Anordnungen. Somit:

$$P(X=2)=10(0.2)^2(0.8)^3=10(0.04)(0.512)=0.2048.$$

Die Chance beträgt $20.48\%$. Wer nur eine Anordnung zählt, erhält $0.02048$, also nur ein Zehntel der richtigen Antwort.

2. Mindestens zwei. Vier unabhängige Versuche haben jeweils die Erfolgswahrscheinlichkeit $0.5$. Wie wahrscheinlich sind mindestens zwei Erfolge?

Lösung: „Mindestens zwei“ schließt null und einen Erfolg aus. Mit $p=0.5$ ist das Gegenereignis einfach zu berechnen:

$$\begin{aligned} P(X\geq2)&=1-P(X=0)-P(X=1)\\ &=1-\binom{4}{0}(0.5)^4-\binom{4}{1}(0.5)^4\\ &=1-\frac{1}{16}-\frac{4}{16}=\frac{11}{16}=0.6875. \end{aligned}$$

Die Antwort lautet $68.75\%$. Würden Sie nur null Erfolge abziehen, beantworteten Sie stattdessen „mindestens eins“.

3. Höchstens einer. Drei unabhängige Kontrollen liefern jeweils mit der Wahrscheinlichkeit $0.1$ ein positives Ergebnis. Wie wahrscheinlich ist höchstens ein positives Ergebnis?

Lösung: Berücksichtigen Sie null und ein positives Ergebnis und addieren Sie:

$$\begin{aligned} P(X\leq1)&=\binom{3}{0}(0.1)^0(0.9)^3 +\binom{3}{1}(0.1)^1(0.9)^2\\ &=0.729+0.243=0.972. \end{aligned}$$

Die Antwort ist $97.2\%$.

Weitere Aufgaben zu den Grundlagen finden Sie im Wahrscheinlichkeitstraining von Math Zen. Der wertvollste erste Schritt bleibt bei jeder Aufgabe die Prüfung der vier Bedingungen.