不等式を直感で理解する：符号が反転する理由と答えの意味

方程式は狭い問いを立てます。両辺を等しくする数はどれか、という問いです。不等式はより広い問いを立てます。一方を他方より大きくする数はどれか、という問いです。答えは一点ではなく数直線上の広がりであり、不等式をめぐる混乱の多くは、その広がりを一つの値のように扱うことから生じます。

仕組みは方程式とほぼ同じです。変数を孤立させるために足し、引き、掛け、割ります。一つだけ異なる規則があり、それは誰もが覚えていながら説明できない規則です。負の数を掛けたり割ったりすると、不等号の向きが逆になるという規則です。

この記事は、その反転が当然に見える図を作り、それを複合不等式、絶対値、そして積の符号がすべてを決める二次の場合へと広げます。負の数そのものがまだ曖昧に感じるなら、負の数のガイドから始めてください。

不等式は数ではなく集合である

$x + 2 < 7$としましょう。両辺から2を引くと$x < 5$になります。これは「答えは5である」という意味ではありません。答えは数直線上で5より左にあるすべての数、4、0、$-100$、4.999などです。5自体は含まれないため、数直線の図では5の位置に白丸を置き、その左側全体を塗ります。

記号を$\le$に変えると5も集合に加わり、丸は塗りつぶされます。この小さな違いは実質的なものです。「5より小さい」と「5以下」は異なる集合を表し、不等式を満たす整数がいくつあるかという試験問題の答えはそこにかかっています。

解を区間で書くとこの区別が明確になります。$x < 5$は$(-\infty, 5)$、$x \le 5$は$(-\infty, 5]$です。丸括弧は端点を含まず、角括弧は端点を含みます。どちらの記法でも、範囲の内側と外側から一つずつ数を選び、元の不等式で確かめてください。

加法と減法は順序を保つ

数直線上に2と5という二つの数を思い浮かべてください。両方に3を足すと5と8になります。両方から10を引くと$-8$と$-5$になります。どちらの場合も最初の数は二番目の数より左のままです。両方の数を同じだけ動かしても、どちらが大きいかという関係は変わりません。

だからこそ、不等式の両辺には方程式と同じように何でも自由に足したり引いたりできます。項を移項するのは安全です。符号の向きは影響を受けません。

正の数を掛けたり割ったりする場合も同じです。2と5に3を掛けると6と15になり、順序は保たれます。正の数によるスケーリングは数直線を伸び縮みさせるだけで、決して反転させません。

負の数を掛けると数直線が反転する

では2と5に$-1$を掛けてみましょう。$-2$と$-5$になります。数直線上では$-5$は$-2$より左にあります。順序が反転しました。$2 < 5$なのに、$-2 > -5$です。

これがこの規則のすべてです。負の数を掛けることは数直線をゼロを中心に反転させることであり、反転は左右を入れ替えます。すべての比較はそれとともに逆転します。だから不等式の両辺に負の数を掛けたり割ったりするときは、文が真であり続けるように不等号を逆にしなければなりません。

$-3x > 12$で実際にやってみましょう。両辺を$-3$で割って向きを変えると$x < -4$です。確かめます。$x = -5$なら$-3(-5) = 15$となり、12より大きくなります。$x = 0$なら0で、12より大きくありません。反転させた答えが正しいのです。

反転が恣意的に感じるなら避けることもできます。代わりに両辺に$3x$を足します。$0 > 12 + 3x$、次に12を引くと$-12 > 3x$、そして正の3で割ると$-4 > x$になります。同じ答えが、負の数での割り算なしに得られます。どちらの道でもかまいません。大切なのは規則がなぜ存在するかを知り、選べることです。

符号が分からないもので割ってはいけない

同じ論理が、優秀な生徒でも陥る罠を説明します。$\frac{2}{x} > 1$を考えます。両辺に$x$を掛けて$2 > x$としたくなりますが、もし$x$が負なら、その掛け算は符号を反転させるはずだったので、「解」には成り立たない負の数が含まれてしまいます。$x = -1$を入れると$-2 > 1$となり、これは偽です。

安全な方法は、すべてを一方の辺に移して式の符号を調べることです。$\frac{2}{x} - 1 > 0$なので$\frac{2 - x}{x} > 0$です。この分数は分子と分母が同じ符号のときに正になり、それは$0 < x < 2$のときに起こります。0と2という臨界点を数直線に印をつければ、これは一目で分かります。

変数が分母にある、または割りたい因子として現れるときは常に、その符号が分かっているかを確認してください。分からなければ、場合分けするか符号分析を使います。

複合不等式は二つの条件を同時に表す

$1 < 2x + 3 \le 9$のような文は、中央を共有する二つの不等式です。$1 < 2x + 3$と$2x + 3 \le 9$です。両方が成り立たなければなりません。別々に解いて答えの共通部分を取ってもよいし、変数が現れるのが中央だけであればより速い方法として、三つの部分すべてに各段階を一度に適用してもかまいません。

全体から3を引くと$-2 < 2x \le 6$です。2で割ると$-1 < x \le 3$になります。解は区間$(-1, 3]$で、$-1$では開き、3では閉じています。

「または」は違う図になります。「$x < -1$または$x > 3$」は間に隙間のある二つの別々の半直線であり、解の集合はその共通部分ではなく和集合です。何かを描く前に接続詞を読んでください。「かつ」は狭め、「または」は広げます。

絶対値の不等式は距離を表す

式$|x|$は$x$からゼロまでの距離です。そう読めるようになれば、二つの標準形は暗記が不要になります。

$|x| < 3$はゼロまでの距離が3より小さいことを意味し、したがって$x$は$-3$と3の間に厳密に入ります。$-3 < x < 3$です。一つの区間です。

$|x| > 3$はゼロまでの距離が3より大きいことを意味し、したがって$x$はどちらかの方向で3を超えています。$x < -3$または$x > 3$です。二つの半直線です。

同じ図は平行移動しても使えます。$|x - 4| \le 2$は$x$から4までの距離が2以下であることを意味し、したがって$x$は4から2以内にあります。$2 \le x \le 6$です。中心を描き、半径を記せば、代数を一行も書く前に区間が見えてきます。

二次不等式：根を求めてから符号を調べる

$x^2 - 5x + 6 < 0$について因数分解すると$(x - 2)(x - 3) < 0$です。積が負になるのは、因数の符号が反対のときだけです。根の2と3を数直線に印をつけると、三つの領域に分かれます。それぞれから一つずつ数を試すと、$x = 0$は正の積、$x = 2.5$は負の積、$x = 4$は正の積になります。不等式が成り立つのは中央の領域だけなので、解は$2 < x < 3$です。

避けるべき誤りは、不等式を方程式のように扱い、「$x < 2$かつ$x < 3$」と報告することです。これは組み合わせた文としては無意味です。根は領域の境界であり、答えそのものではありません。二次方程式のガイドがそれらの根の求め方を扱っており、不等式の段階は常にそれに続く符号の確認です。

放物線を描いても同じ結果になります。$y = x^2 - 5x + 6$は上に開き、根の間で軸の下に沈むため、そこでだけ負になります。下に開く放物線では、図も答えも逆になります。

よくある誤りを防ぐチェックリスト

1. 不等号が厳密か以上・以下を含むかを最初に決め、その選択を最終的な答えまで持ち越す。
2. 足し算と引き算は自由に行う。正の数による掛け算と割り算も自由に行う。
3. 負の数で掛けたり割ったりするときは、その場で不等号を反転させる。頭の中だけで処理せず、書き出す。
4. 符号の分からない変数や式で割らない。代わりに項を一方の辺へ移し、符号を分析する。
5. 「かつ」では共通部分を取り、「または」では和集合を取る。両方を一本の数直線に描く。
6. $|\,\cdot\,|$は距離として読む。より小さいなら一つの区間、より大きいなら二つの半直線になる。
7. 二次式では根を求め、各領域で値を試し、不等式が成り立つ領域を答える。
8. 解の集合の内側と外側から一つずつ数を選び、答えを確認する。

Math Zenの代数トピックで練習してください。不等式のスキルは毎回新しい問題を生成し、符号の確認を誤ったときには途中経過を示します。代数のガイドは、不等式と共有する方程式の解き方の手順を扱っています。

不等式とは、ある領域を説明したものです。上記の規則はすべて、その領域がどこにあるかを見失わずに動かしたり反転させたりする方法です。数直線を視野に入れておけば、反転はもはや暗記する規則ではなく、目に見えるものになります。