Комплексные числа в полярной форме: перевод, умножение и деление

Число $3+3i$ задаёт адрес: три единицы вправо и три единицы вверх. Оно также задаёт направление и расстояние: на северо-восток, на расстоянии $3\sqrt{2}$ от нуля. Прямоугольная и полярная формы описывают одно и то же число. Просто в каждой из них удобны разные вычисления.

Прямоугольная форма удобна для сложения. В полярной форме умножение выглядит как два обычных действия: растяжение и поворот. Поэтому сложная на вид степень после смены описания может превратиться в короткое вычисление.

Если мнимая единица вам пока непривычна, начните с нашего объяснения мнимых чисел. Здесь мы сосредоточимся на следующем практическом шаге: переводе между формами, вычислениях и проверке ответа.

Модуль и аргумент описывают одну стрелку

Проведите стрелку из начала координат к $z=a+bi$. Её горизонтальная составляющая равна $a$, а вертикальная равна $b$. Длина стрелки, которую называют модулем, находится из прямоугольного треугольника:

$$r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$$

Аргумент это угол $\theta$, отсчитываемый против часовой стрелки от положительной полуоси действительных чисел. Положительный поворот идёт против часовой стрелки, отрицательный по часовой. Полный оборот возвращает к той же стрелке, поэтому аргумент не единственен.

Горизонтальная и вертикальная составляющие стрелки длины $r$ равны $r\cos\theta$ и $r\sin\theta$. Подстановка этих составляющих даёт полярную форму:

$$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$$

В некоторых книгах её записывают как $r\operatorname{cis}\theta$. Это сокращение означает ровно выражение в скобках. Это более короткая запись, а не новая операция.

Здесь используется геометрия полярных координат, но наша цель не построение полярных кривых, а арифметика комплексных чисел.

Переводите число, не теряя квадрант

Рассмотрим $z=-3+3i$. Начнём с модуля:

$$r=\sqrt{(-3)^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$$

Действительная часть отрицательна, а мнимая положительна, поэтому стрелка направлена во II квадрант. Опорный угол равен $\pi/4$, поскольку горизонтальное и вертикальное расстояния равны по модулю. Значит, нужный аргумент равен $3\pi/4$, или 135 градусов:

$$-3+3i=3\sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right)$$

Почему нельзя просто ввести $\arctan(b/a)$? Здесь отношение равно -1, и обычное вычисление арктангенса возвращает $-\pi/4$. Этот угол указывает в IV квадрант, то есть в противоположную сторону. Одно отношение теряет знаки, которые определяют квадрант.

Каждый раз действуйте в таком порядке:

1. Найдите модуль.
2. На рисунке отметьте знаки действительной и мнимой частей.
3. Найдите опорный угол и поместите его в нужный квадрант.
4. Подставьте результат обратно и проверьте обе составляющие.

Функция калькулятора или языка программирования $\operatorname{atan2}(b,a)$ учитывает квадранты и случаи на осях. Проверьте порядок её аргументов и выясните, выдаёт ли она результат в радианах. Если вы используете арктангенс с одним аргументом, рисунок всё равно необходим.

Обратный перевод как проверка

Чтобы перейти из полярной формы в прямоугольную, вычислите две составляющие по отдельности. Для нашего примера:

$$a=3\sqrt{2}\cos\frac{3\pi}{4}=3\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-3$$ $$b=3\sqrt{2}\sin\frac{3\pi}{4}=3\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=3$$

Получаем требуемое число $-3+3i$. Такая проверка сразу обнаруживает ошибку с квадрантом: неверный угол даст неверные знаки, даже если модуль найден правильно.

Если у угла нет простого точного значения, не округляйте аргумент до последнего шага. Раннее округление вносит лишнюю погрешность при обратном переходе к составляющим.

Умножение растягивает и поворачивает

Пусть модуль одного числа равен $r_1$, а аргумент $\theta_1$; у другого они равны $r_2$ и $\theta_2$. При умножении длины перемножаются, а повороты складываются:

$$z_1z_2=r_1r_2\left(\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\right)$$

Возьмём два числа с модулем 2 и аргументами $\pi/6$ и $\pi/3$. У произведения модуль равен 4, а аргумент $\pi/2$:

$$z_1z_2=4\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)=4i$$

Это можно независимо проверить в прямоугольной форме. Исходные числа равны $\sqrt{3}+i$ и $1+\sqrt{3}i$:

$$(\sqrt{3}+i)(1+\sqrt{3}i)=\sqrt{3}+3i+i+\sqrt{3}i^2=4i$$

Действительные части сокращаются, потому что $i^2=-1$. Оба описания приводят к одному ответу, но в полярном вычислении поворот на прямой угол виден ещё до раскрытия скобок.

Деление обращает растяжение и поворот

Чтобы разделить на ненулевое комплексное число, разделите модули и вычтите аргументы:

$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\left(\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)\right)$$

Например, разделим число с модулем 6 и аргументом $5\pi/6$ на число с модулем 2 и аргументом $\pi/3$. Результат имеет модуль 3 и аргумент $\pi/2$, поэтому частное равно $3i$.

Модуль знаменателя должен быть ненулевым. Полярная запись не делает деление на ноль допустимым. Также сохраняйте правильный порядок вычитания: если разделить второе число на первое, обратятся и масштабный множитель, и разность углов.

Степени повторяют одну операцию

Возведение комплексного числа в положительную целую степень означает повторение одного и того же умножения. Модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на неё:

$$z^n=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)$$

Это формула Муавра. Для $z=\sqrt{3}+i$ модуль равен 2, а один из аргументов равен $\pi/6$. Возведение в куб даёт:

$$(\sqrt{3}+i)^3=2^3\left(\cos\frac{3\pi}{6}+i\sin\frac{3\pi}{6}\right)=8i$$

Три поворота по 30 градусов дают поворот на 90 градусов. Три масштабных множителя по 2 дают 8. Куб всё ещё можно раскрыть, но полярная форма сразу показывает, почему результат лежит на мнимой оси.

Глава OpenStax о полярной форме также разбирает соответствующие вычисления корней. Важно различать следующее: при n ≥ 2 у ненулевого комплексного числа есть несколько различных корней n-й степени, и простое деление одного выбранного угла на n не перечисляет их все.

Не путайте особые случаи

Полный оборот меняет угол, но не число. Углы $\theta$ и $\theta+2\pi k$ задают одно направление при любом целом $k$. Если требуется главный аргумент, используйте указанный в задаче интервал, часто это $(-\pi,\pi]$. В разных курсах интервалы отличаются, поэтому явно укажите принятую договорённость.

У нуля нет определённого направления. Его модуль равен нулю. Любой угол даёт те же нулевые составляющие, поэтому назначать нулю единственный аргумент бессмысленно.

Радианы и градусы нельзя смешивать. В тригонометрической форме можно использовать и те и другие, если делать это последовательно. Экспоненциальная форма $re^{i\theta}$ использует радианы. Связь объяснена в нашем материале о тождестве Эйлера.

Для сложения правило умножения не работает. Сложение модулей и углов не складывает комплексные числа. Перейдите в прямоугольную форму, сложите составляющие, а затем при необходимости вернитесь в полярную.

Отрабатывайте по одному решению за раз

Раздел Math Zen с упражнениями на комплексные числа включает полярную форму и формулу Муавра. Во время обучения разделяйте навыки: сначала определите квадрант, затем найдите модуль, выполните перевод и только потом переходите к произведениям или степеням.

Перед отправкой ответа задайте себе три вопроса. Разумно ли расстояние от нуля? Соответствует ли направление выполненной операции? Воспроизводят ли прямоугольные составляющие исходное число? Благодаря этим проверкам полярная форма становится не ещё одной формулой для заучивания, а способом увидеть вычисление.