瑕積分：收斂判斷與例題

一個積分可以有大家熟悉的反導函數，卻仍然沒有有限的值。缺少的那一步是極限。如果積分區間無限延伸，或是函數在端點或區間內部變得無界，你就不能直接把題目上寫的積分界限代入反導函數。要先把有問題的界限換成一個普通的變數，再問：當這個變數趨近該界限時，會發生什麼事。

這就是積分被稱為瑕積分（也稱廣義積分）的原因。這個名稱描述的是題目的設定，而不是答案。有些瑕積分收斂到一個有限的數，有些則發散。本文把成對的例題並排放在一起，讓你看出是哪一個步驟造成差別。如果你對一般定積分的記號還不熟，請先讀我們的積分入門。極限指南則說明了決定本文每一個例子的那種運算。

先找出是什麼讓積分變成瑕積分

常見的情況有兩種。無限區間是指有一個界限是 $+\infty$ 或 $-\infty$。無界的被積函數是指函數在某一點無界地暴增，即使寫出來的界限是有限的也一樣。那個點可能是端點，也可能落在區間內部。

OpenStax Calculus, Volume 2, §3.7用極限定義了這兩種情況。這個區分很重要，因為把 $\infty$ 當成一個數來寫，或是一口氣越過區間內部的奇異點去計算，都可能得到看似合理卻是錯誤的答案。

極限是有限值代表收斂。極限無限增大，或是沒有穩定到某個有限值，代表發散。同一個反導函數可能出現在兩種結果裡，所以找到它只是工作的一部分。

可以重複使用的四步驟方法

1. 找出每一個可疑的界限。 包括無限的一端、分母為零的地方、對數離開定義域的地方，或函數無界的其他地方。區間內部若有奇異點，必須在積分之前先拆開。

2. 把其中一個可疑的界限換成有限的變數。 寫出得到的正常積分。例如，對有限的 $R>1$，把 $\int_1^{\infty} f(x)\,dx$ 換成 $\int_1^R f(x)\,dx$。

3. 計算這個正常積分。 這裡反導函數就派上用場。代入有限界限之前，先檢查它的定義域與正負號。如果無法直接積分，用比較法仍然可能判斷是否收斂。

4. 取極限並寫出結論。 不要只報告在有限的 $R$ 或 $\varepsilon$ 時的式子。要寫出極限的結果，並說明是收斂還是發散。如果內部的某個點被拆開了，就要在兩側各自獨立地做這件事。

這個順序讓論證可以被檢查。讀的人看得出你是否檢查了正確的界限，以及最後的數字是否真的是一個極限。

在無限遠處：一個面積有限，一個面積無限

先看一個收斂的例子：

$$\int_1^{\infty}\frac{1}{x^2}\,dx =\lim_{R\to\infty}\int_1^R x^{-2}\,dx =\lim_{R\to\infty}\left[-\frac1x\right]_1^R =\lim_{R\to\infty}\left(1-\frac1R\right)=1.$$

區間永遠不會結束，但新增的面積小到讓總和趨近 1。現在只改變分母的次方：

$$\int_1^{\infty}\frac1x\,dx =\lim_{R\to\infty}\int_1^R\frac1x\,dx =\lim_{R\to\infty}[\ln x]_1^R =\lim_{R\to\infty}\ln R=+\infty.$$

這個積分發散。$1/x$ 趨近於零，並不代表它累積的面積是有限的，因為它下降得太慢。這個比較才是有用的圖像：兩個被積函數都趨近於零，兩者都有初等的反導函數，但只有一個的積分極限是有限的。

對 $\int_1^{\infty}x^{-p}\,dx$ 而言，分界在 $p=1$。當 $p>1$ 時收斂，當 $p\le1$ 時發散。這個捷徑來自上面的極限計算，包括 $p=1$ 的對數情形。如果你不確定指數或區間是否符合這個捷徑，就回到背後的極限計算。

在端點：從另一側看同一個界限

即使兩個寫出來的界限都是有限的，積分仍然可能是瑕積分。在 $x=0$ 處，$x^{-1/2}$ 無界。把下界換成 $\varepsilon>0$：

$$\int_0^1\frac1{\sqrt{x}}\,dx =\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{\varepsilon}^1 x^{-1/2}\,dx =\lim_{\varepsilon\to0^+}[2\sqrt{x}]_{\varepsilon}^1 =\lim_{\varepsilon\to0^+}2(1-\sqrt{\varepsilon})=2.$$

函數在端點變得無界，積分卻收斂。再比較同一個區間上的 $1/x$：

$$\int_0^1\frac1x\,dx =\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{\varepsilon}^1\frac1x\,dx =\lim_{\varepsilon\to0^+}(0-\ln\varepsilon)=+\infty.$$

這個積分則發散。不要把零代入 $\ln x$，因為 $\ln0$ 沒有定義。極限才是真正的數學問題。端點這一對例子和無限遠處那一對互相呼應：奇異點本身不能決定是否收斂，一個能用的反導函數也不能決定。

在區間內部：絕對不要越過那個洞去抵消

最危險的捷徑出現在奇異點落在兩個看似正常的端點之間的時候。考慮

$$\int_{-1}^{1}\frac1x\,dx.$$

反導函數 $\ln|x|$ 在 $-1$ 與 $1$ 的值相同，讓人很想寫成零。這一步越過了 $x=0$，而 $1/x$ 在那裡沒有定義。微積分基本定理並不允許你越過這個斷點做一次減法。在給整個式子一個值之前，要先分別檢驗兩側：

$$\int_{-1}^{0}\frac1x\,dx\qquad\text{與}\qquad\int_0^1\frac1x\,dx.$$

每一側都需要自己的極限。在左側，取 $\varepsilon>0$，$\int_{-1}^{-\varepsilon}1/x\,dx=\ln\varepsilon\to-\infty$。在右側，$\int_{\varepsilon}^{1}1/x\,dx=-\ln\varepsilon\to+\infty$。兩側都沒有收斂到有限值。因此原本的瑕積分發散。

對稱的截斷方式可以讓每個正的 $\varepsilon$ 都得到零，但那是另一種做法，稱為柯西主值。它把兩個發散的部分配成對，讓它們互相抵消。它不是一般瑕積分的值。南卡羅來納大學的練習講義指出，內部有奇異點時必須分開處理兩側。

反導函數很難求時，用比較法

並不是每個瑕積分都有你想去計算的反導函數。對非負的被積函數，你可以把它的大小和另一個行為已知的函數相比。例如，當 $x\ge1$ 時，

$$0<\frac1{x^2+1}\le\frac1{x^2}.$$

因為 $\int_1^{\infty}1/x^2\,dx$ 收斂，所以比它小的非負積分 $\int_1^{\infty}1/(x^2+1)\,dx$ 也收斂。這樣不必求出它的確切值，就證明了它收斂。OpenStax 在 §3.7 的比較定理寫出了所需的條件。不等號的方向很重要：比一個發散函數小的函數，單憑這一點什麼也說明不了；而比一個收斂函數小的非負函數，則會繼承收斂性。

交卷前先檢查你的答案

在說答案完成之前，先指出可疑的界限，並檢查你的最後一行。只有一個反導函數、直接代入的 $\infty$，或是沒有定義的 $\ln0$，都是沒做完的解答。遇到內部的奇異點，需要兩個有限的單側答案。對稱的抵消不能取代它。

試試兩個快速檢查。第一，$\int_2^{\infty}1/x^2\,dx$ 是否收斂？同樣的計算得到 $1/2$。第二，$\int_0^1x^{-2}\,dx$ 是否收斂？它在端點的極限會無限增大，所以發散。雖然出現的是同一個次方，這兩題的界限不同，結論也不同。如果任何一個結果讓你意外，就寫出有限界限的版本，讓極限告訴你為什麼。

Math Zen 的極限指南能幫你完成最後一步。羅必達法則指南介紹的是適用於特定極限型式的工具，但它不能取代找出瑕積分的界限並加以拆開。一旦你能指出每一個有問題的點，並寫出正確的單側極限，這個計算就又變回普通的微積分了。