數學應用題怎麼解？一步一步的列式方法

你讀了一遍題目，又讀了一遍。文字很簡單，數字也很小，不知怎麼地你還是完全不知道從哪裡下手。同樣的方程式，如果用符號寫出來，你只要三十秒就能解出來。如果這就是你，這裡有個令人安心的事實：應用題不是比較難的數學，它是附加在數學上的另一種技能，而這種技能和其他技能一樣可以學會。

那種技能就是翻譯。應用題把一個簡單的方程式藏在一個小故事裡，而你的工作就是把它取出來。在應用題上吃力的學生，幾乎都是卡在取出的步驟，而不是求解。這篇文章給你一套取出方程式的五步驟方法、最常見的翻譯模式，以及出題者愛設的陷阱。

為什麼應用題感覺難這麼多

一般的練習題把架構給你：解 3x + 12 = 30。應用題卻要你自己建立架構：「一間健身房收 $12 的報名費，外加每次進場 $3。會員進場幾次之後，總共付了 $30？」數學是完全一樣的。差別在於第二個版本要你在任何代數開始之前，就決定未知數是什麼、哪些數字重要，以及它們如何連結。

這就是為什麼「我不擅長應用題」通常是誤診。計算和理解是兩種分開的技能，其中一個落後於另一個是很正常的。好消息也緊接著而來：你可以單獨練習翻譯這個步驟，而且一旦這麼做，進步會很快。如果方程式本身是不穩的部分，請先用用直覺理解代數把它補強；以下的方法假設你能解出你列的式子。

步驟 1：先讀問題

從結尾開始。應用題的最後一句幾乎總是包含真正的問題，知道它會改變你讀其他部分的方式。沒有目標，題目就是一個你被動吸收的故事；有了目標，文字就變成一份線索清單，你會像偵探一樣閱讀：這些數字中哪些能讓我得到我需要的東西？

這個單一習慣消除了最常見的失敗模式，也就是回答了錯誤的問題。題目常常問的是進場的次數，卻引誘你報出總費用；或是問瑪麗亞的年齡，而你剛剛解出的是她哥哥的年齡。先讀問題，並把確切被問的東西圈起來或寫下來，幾乎就不可能犯這種錯。

步驟 2：為已知數與未知數命名

現在讀完整道題目，擷取每一項給定的資訊，每個數字都附上它的意義。不要寫「12、3、30」，而是寫「報名費 = $12、每次進場費用 = $3、總共付了 = $30」。沒有標籤的數字，就是量在解題途中被弄混的原因。

然後替未知數取個名字。明確寫下「設 v = 進場次數」。當題目很簡單時，這感覺像是繁文縟節，但這個動作正是區分能處理難應用題的人與不能的人的關鍵。有兩、三個量的複雜題目，恰恰是在這些量沒有名字的時候變得無法掌握。標示的紀律是便宜的保險，它也包括單位：讓「公里」和「小時」一直附著在數字上，能抓到純算術永遠抓不到的錯誤。

步驟 3：把句子翻譯成數學

這是整個方法的核心。把用文字描述的關係，一個詞語一個詞語地轉成符號。大多數應用題用的詞彙表小得驚人：

• 「和」、「總共」、「合計」、「全部」通常表示加法
• 「差」、「少」、「剩下」通常表示減法
• 「的」、「倍」、「每」、「各」通常表示乘法
• 「分」、「平分」、「每」（又是它）通常表示除法
• 「是」、「等於」、「會是」、「要價」通常表示等號

注意「通常」這個詞。關鍵字是提示，不是規則，而把它們當成規則，正是出題者所利用的。經典的陷阱是順序：「比 x 少 5」是 x - 5，不是 5 - x，因為這個說法描述的是一個比 x 低 5 的量。同樣地，「安娜的數量是班的 3 倍」意思是 A = 3B，儘管「安娜」緊鄰在「3 倍」旁邊，會引誘你寫成 3A = B。防禦的方法永遠一樣：翻譯完一個詞語之後，重讀它，並用簡單的數字檢查方向。如果班有 2 個，安娜應該有 6 個。你的方程式是這樣說的嗎？

以健身房的題目為例，翻譯後讀起來是：總共付的錢等於報名費加上每次費用乘以次數，所以 30 = 12 + 3v。故事已經變成了方程式，最難的部分結束了。

步驟 4：求解，以及步驟 5：用故事檢查

求解是你已經知道怎麼做的部分，這正是這套方法的重點：它把一個陌生的問題化成熟悉的問題。有一個值得記住的提示：如果代數變得很可怕，出現分數的分數，或數字怎麼也算不整齊，要先懷疑你的列式，而不是更用力地硬算。難看的代數往往是在客氣地提示，步驟 3 出了問題。

最後一步是大多數學生跳過的一步，也是任何考試中最容易拿到的分數。不要只驗證你的數字滿足你的方程式；要驗證它滿足故事。如果 v = 6，進場六次，每次 $3 再加上 $12 的報名費，真的是 $30 嗎？是的。對一道健身房的題目來說，進場六次是合理的答案嗎？是的。把它和這樣的答案比較：負數個蘋果、130% 的折扣，或一位跑者的速率是 400 km/h。每一個都是翻譯錯誤在宣告自己的存在，而用故事檢查，幾秒鐘就能抓到。在 SAT 這類選擇題考試中，這個習慣特別划算，因為錯誤選項是用最常見的列式錯誤編出來的；我們在 SAT 數學備考指南中說明了該考試的特定模式。

練習翻譯，而不只是練習題目

因為翻譯是瓶頸，進步最快的方法就是單獨練習它。拿一組應用題，只寫每一題的列式：已知數、未知數、方程式。什麼都不要解。然後把你的列式與解答比對。你在完整求解只能做三題的時間內，可以做完十題，而你花的每一分鐘，都用在真正需要加強的技能上。這與有效的數學學習背後的原則相同：針對你失敗的那一步，而不是感覺舒服的那些步驟。

第二個很快就會累積效果的習慣，是在做完之後替題型命名。那是速率問題、混合問題、比較問題，還是百分比變化？應用題看起來變化無窮，其實只來自一小串結構，一旦你見過「兩個東西互相靠近」五次，第六次就不再是故事，而變成一個模板。在 Math Zen 的每日練習正是依靠這一點：它的應用題是依據這些反覆出現的結構產生，並會依你的程度調整，所以你會在一個既有挑戰又不至於壓垮你的難度下，反覆遇到每個模板，翻譯的步驟就會變成自動化，而不再令人害怕。

重點整理

應用題是一項翻譯任務，外加釘在上面的一項數學任務，而幾乎所有的困難都在翻譯。先讀問題，這樣你才知道目標。為每個已知數標示清楚，並替未知數命名。一次一個詞語地把語句轉成符號，相信完整的句子勝過關鍵字。解你建立的乾淨方程式，然後用故事檢查結果，而不只是檢查代數。

下一次當一道應用題瞪著你看時，不要試圖看見答案。沒有人看得見答案。真正的技能是看見藏在句子裡的方程式，而這項技能，只差五個小而可以學會的步驟。