Sinussatsen och cosinussatsen: vilken du ska använda när

En lantmätare känner två sidor av en tomt och vinkeln mellan dem och behöver den tredje sidan. En pilot känner två vinklar i en triangel som bildas med två radiofyrar, samt ett avstånd. Ingen av trianglarna har en rät vinkel, så SOH CAH TOA hjälper inte. Det här är uppgifterna för sinussatsen och cosinussatsen, de två regler som löser vilken triangel som helst när du känner tre av dess delar (så länge en av dem är en sida).

Det svåra är sällan formeln. Det svåra är att välja vilken sats du ska använda och att upptäcka det enda läge där en räknare i tysthet ger fel vinkel. Den här guiden börjar med en beslutstabell, räknar ett exempel för varje fall och tar sedan en enda triangel genom alla utfall av det tvetydiga fallet genom att bara ändra en sida. Om sinus och cosinus fortfarande känns som knappar snarare än idéer bygger trigonometriguiden upp dem först.

Beteckningar genomgående: vinklarna A, B, C ligger mitt emot sidorna a, b, c. I förkortningarna står S för sida och V för vinkel, som i kongruensfallen (SVS, VSV, SSS).

Vilken sats du ska använda: utgå från det som är givet

Varje lösbar triangeluppgift ger tre delar. Namnge mönstret, så följer satsen:

Givna uppgifter, sats, första obekanta att bestämma

Du har givet	Mönster	Sats att använda	Bestäm först
Två vinklar och en sida som inte ligger mellan dem	VVS	Sinussatsen	Tredje vinkeln (180° minus de två andra), sedan sidorna
Två vinklar och sidan mellan dem	VSV	Sinussatsen	Tredje vinkeln, sedan sidorna
Två sidor och en vinkel som inte ligger mellan dem	SSV	Sinussatsen, med försiktighet	Vinkeln mitt emot den andra kända sidan; kontrollera om det finns 0, 1 eller 2 trianglar
Två sidor och vinkeln mellan dem	SVS	Cosinussatsen	Den tredje sidan
Alla tre sidorna	SSS	Cosinussatsen	Den största vinkeln (mitt emot den längsta sidan)
Tre vinklar	VVV	Ingen av dem	Ingen entydig lösning: likformiga trianglar av vilken storlek som helst passar

Uppdelningen följer läroboken OpenStax Precalculus: sinussatsen täcker VSV, VVS och SSV, och cosinussatsen är verktyget för de två fall som sinussatsen inte klarar, SVS och SSS (OpenStax, sinussatsen; OpenStax, cosinussatsen).

Skälet är lätt att se i formlerna. Sinussatsen jämför varje sida med dess motstående vinkel:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$

För att använda den behöver du minst ett komplett par: en sida tillsammans med vinkeln mitt emot den. SVS och SSS ger aldrig ett komplett par, så du behöver en annan regel för att komma igång.

Cosinussatsen: Pythagoras plus en korrektion

Cosinussatsen lyder i sina tre former

$$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\cos A$$ $$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2ac\cos B$$ $$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab\cos C$$

Titta på den sista med $C = 90^{\circ}$. Då är $\cos C = 0$, den sista termen försvinner och kvar blir $a^{2} + b^{2} = c^{2}$. Cosinussatsen är Pythagoras sats med en korrektionsterm för vinklar som inte är räta. OpenStax kallar identiteten den utgår från "the Generalized Pythagorean Theorem" (Pythagoras generaliserade sats). Tanken är gammal: sats 12 och 13 i bok II av Euklides Elementa bevisar den för trubbvinkliga och spetsvinkliga trianglar i rent geometriskt språk, långt innan cosinus fanns (Euklides II.12, Clark University-utgåvan).

Korrektionen har en tydlig innebörd. När C är spetsig är $\cos C$ positiv, så c blir kortare än Pythagoras värde. När C är trubbig är $\cos C$ negativ, och minustecknet gör korrektionen till en addition, så c blir längre. Öppna vinkeln och den motstående sidan töjs ut; stäng den och sidan krymper.

Löst exempel med SVS

Två sidor är $b = 8$ och $c = 11$, med vinkeln mellan dem $A = 40^{\circ}$. Bestäm resten.

Tredje sidan. Sätt in i den form som innehåller den kända vinkeln:

$$a^{2} = 8^{2} + 11^{2} - 2(8)(11)\cos 40^{\circ} = 185 - 134.82 = 50.18$$

alltså $a \approx 7.08$. Som jämförelse hade en rät vinkel vid A gett $\sqrt{185} \approx 13.60$; vinkeln 40° nästan halverar det.

Återstående vinklar. Nu finns ett komplett par (a med A), så sinussatsen fungerar. Lös ut vinkeln mitt emot den kortare av de två andra sidorna, som är b:

$$\sin B = \frac{8 \sin 40^{\circ}}{7.08} \approx 0.7260, \quad B \approx 46.55^{\circ}$$

Då är $C = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 46.55^{\circ} = 93.45^{\circ}$.

Lägg märke till att C är trubbig. Hade du använt sinussatsen för C i stället hade räknarens arcsin gett 86,55°, den spetsiga vinkeln med samma sinus, och varje senare tal hade blivit fel. Att lösa den mindre vinkeln först undviker detta: i varje triangel ligger den mindre vinkeln mitt emot den kortare sidan, och högst en vinkel kan vara 90° eller mer, så vinkeln mitt emot den kortare sidan är alltid spetsig.

Samma uppgifter ger också arean direkt, som hälften av två sidor gånger sinus för deras mellanliggande vinkel (areaformeln från OpenStax-avsnittet om sinussatsen): $\tfrac{1}{2}(8)(11)\sin 40^{\circ} \approx 28.28$.

SSS: bestäm den största vinkeln först

När alla tre sidorna är givna skriver du om cosinussatsen så att cosinus blir ensam:

$$\cos C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2ab}$$

Ta triangeln med sidorna 5, 7 och 9. Den längsta sidan är 9, så börja med vinkeln mitt emot den:

$$\cos C = \frac{25 + 49 - 81}{2(5)(7)} = \frac{-7}{70} = -0.1, \quad C \approx 95.74^{\circ}$$

Den negativa cosinusen visar direkt att C är trubbig. Nu är sinussatsen säker för de andra, eftersom de två återstående vinklarna måste vara spetsiga:

$$\sin A = \frac{5 \sin 95.74^{\circ}}{9} \approx 0.5528, \quad A \approx 33.56^{\circ}$$

och $B = 180^{\circ} - 95.74^{\circ} - 33.56^{\circ} = 50.70^{\circ}$. En kontroll med cosinussatsen för B ger samma 50,70°.

Gör du det i andra ordningen dyker fällan upp. Bestäm A först och använd sedan sinussatsen för C: du får $\sin C \approx 0.9950$, och arcsin säger 84,26°. Den riktiga vinkeln är dess supplementvinkel, 95,74°. Kursanteckningar från University of Houston säger det rakt ut: om du har ett val är det oftast bäst att hitta den största vinkeln först ("it is usually best to find the largest angle first") (UH Math 1330, avsnitt 7.3).

Sinussatsen: VVS och VSV

När du känner två vinklar får du den tredje gratis: de är tillsammans 180°. Därefter är sinussatsen en rak proportion.

Säg att $A = 40^{\circ}$, $B = 60^{\circ}$ och $a = 10$. Då är $C = 80^{\circ}$, och den gemensamma kvoten är

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{10}{\sin 40^{\circ}} \approx 15.557$$

Multiplicera den med varje sinus: $b \approx 15.557 \times \sin 60^{\circ} \approx 13.47$ och $c \approx 15.557 \times \sin 80^{\circ} \approx 15.32$.

Här finns inget tvetydigt, eftersom varje vinkel hittades genom subtraktion och inte med en arcsin. VSV fungerar på samma sätt: subtrahera för att få den tredje vinkeln, så har du en sida med dess motstående vinkel och proportionen sköter resten.

Det tvetydiga fallet (SSV): en triangel, tre utfall

SSV är där elever tappar poäng. OpenStax beskriver det som fallet där SSV-uppgifter "may result in one or two solutions, or even no solution" (kan ge en eller två lösningar, eller till och med ingen). Det tydligaste sättet att se varför är att hålla allt fast utom en sida.

Fixera vinkeln $A = 30^{\circ}$ och sidan $b = 10$. Tänk dig sidan b liggande på marken från hörn C till hörn A, med vinkeln 30° vid A. Sidan a hänger från C och svänger som ett grindblad tills den landar på linjen som utgår från A. Om den landar, och var, beror bara på dess längd.

Nyckellängden är höjden från C ner till den linjen:

$$h = b \sin A = 10 \sin 30^{\circ} = 5$$

Ändra nu bara a. Varje rad nedan är beräknad med $\sin B = \dfrac{b \sin A}{a}$ och kontrollerad till 12 värdesiffror:

SSV-utfall för A = 30°, b = 10

Sida a	Jämfört med h = 5 och b = 10	$\sin B$	Trianglar	Vinkel B	Vinkel C	Sida c
4	kortare än h	1,25	0	ingen	ingen	ingen
5	lika med h	1	1	90°	60°	8,66
8	mellan h och b	0,625	2	38,68° eller 141,32°	111,32° eller 8,68°	14,91 eller 2,42
12	minst b	0,4167	1	24,62°	125,38°	19,57

Läs rad för rad:

• a = 4. Grindbladet är kortare än höjden och når därför aldrig marken. Algebran säger samma sak: $\sin B = 1.25$, och ingen vinkel har en sinus över 1. Ingen triangel.
• a = 5. Grindbladet vidrör precis marken, rakt ner. En triangel, med en rät vinkel vid B.
• a = 8. Grindbladet är längre än höjden men kortare än b, så det når marken på två ställen, ett på var sida om höjdens fotpunkt. Båda är riktiga trianglar. Arcsin ger 38,68°; det andra svaret är dess supplementvinkel, $180^{\circ} - 38.68^{\circ} = 141.32^{\circ}$, och eftersom $30^{\circ} + 141.32^{\circ} < 180^{\circ}$ finns det plats för en tredje vinkel. Du får en bred triangel med c = 14,91 och en smal med c = 2,42.
• a = 12. Grindbladet är längre än b, så dess andra landningspunkt skulle hamna bakom A, utanför triangeln. Supplementvinkeln 155,38° plus 30° passerar redan 180°, så den förkastas. En triangel.

Dessa villkor stämmer med de fyra bilderna i OpenStax-avsnittet: a kortare än höjden ger ingen triangel, a lika med höjden ger en rätvinklig triangel, a mellan höjden och b ger två, och a minst lika lång som b ger en (för en spetsig vinkel A).

Rutinen att lägga på minnet: efter varje SSV-arcsin, skriv ner supplementvinkeln också och testa om den ryms tillsammans med den givna vinkeln. Om den gör det finns det två svar, och uppgiften vill oftast ha båda. Om A själv är trubbig blir bilden enklare: a måste vara längre än b, annars finns ingen triangel alls.

Vanliga misstag

Att använda sinussatsen på SVS eller SSS. Utan ett komplett par av sida och motstående vinkel har proportionen två obekanta. Börja med cosinussatsen.

Att glömma den andra SSV-triangeln. Räknaren ger bara den spetsiga vinkeln från arcsin. Testa alltid supplementvinkeln också.

Att bestämma en trubbig vinkel med arcsin. Bestäm vid SVS och SSS den största vinkeln med cosinussatsen, eller bestäm de mindre vinklarna först med sinussatsen.

Räknaren i radianläge. $\cos 40$ i radianer är ungefär $-0.667$, inte $0.766$. Om en sida blir längre än summan av de två andra, kontrollera läget.

Att avrunda för tidigt. Behåll full precision för sidan du hittade innan du använder den i nästa steg; svaren ovan räknades med full precision och avrundades först i slutet.

Övningsuppgifter

Försök med varje uppgift innan du läser svaret.

1. SVS. $b = 6$, $c = 9$, $A = 60^{\circ}$. Beräkna a.
2. SSS. En triangel har sidorna 4, 6 och 8. Bestäm den största vinkeln.
3. SSV. $A = 40^{\circ}$, $b = 12$, $a = 9$. Hur många trianglar passar, och vilka värden kan c ha?

Svar.

1. $a^{2} = 36 + 81 - 108\cos 60^{\circ} = 63$, alltså $a = \sqrt{63} \approx 7.94$.
2. Den största vinkeln ligger mitt emot 8: $\cos C = \dfrac{16 + 36 - 64}{48} = -0.25$, alltså $C \approx 104.48^{\circ}$.
3. Höjden är $12 \sin 40^{\circ} \approx 7.71$, och 9 ligger mellan 7,71 och 12, så två trianglar. $\sin B \approx 0.8571$ ger $B \approx 58.99^{\circ}$ eller $121.01^{\circ}$, sedan $C \approx 81.01^{\circ}$ eller $18.99^{\circ}$, och $c \approx 13.83$ eller $4.56$.

Math Zens trigonometriövningar innehåller sinussatsen och cosinussatsen vid sidan av trigonometriska förhållanden, identiteter och inversa funktioner, med nya tal vid varje försök, så att valet mellan de två satserna blir automatiskt. Samma cosinus återkommer i skalärprodukten, som vektorguiden förklarar som ett naturligt nästa steg.

Vanliga frågor

När använder man sinussatsen och när cosinussatsen?

Använd sinussatsen för VVS, VSV och SSV. Använd cosinussatsen för SVS och SSS, där ingen sida kommer med sin motstående vinkel.

Är cosinussatsen samma sak som Pythagoras sats?

Den är den allmänna versionen. Sätt vinkeln till 90° så faller termen $-2ab\cos C$ bort och kvar blir $a^{2} + b^{2} = c^{2}$.

Vad är det tvetydiga fallet av sinussatsen?

SSV-uppgifter kan beskriva noll, en eller två trianglar. Jämför sidan a med höjden $h = b \sin A$ och med sidan b för att se vilket fall det är.

Varför ska jag bestämma den största vinkeln först?

En vinkel och dess supplementvinkel har samma sinus, så en arcsin kan inte skilja 84° från 96°. Den största vinkeln är den enda som kan vara trubbig; bestäm den med cosinussatsen så är resten säkra.