Generaliserade integraler: konvergens och lösta exempel

En integral kan ha en bekant primitiv funktion och ändå sakna ett ändligt värde. Det som fattas är ett gränsvärde. Om intervallet fortsätter mot oändligheten, eller om funktionen blir obegränsad vid en ändpunkt eller inne i intervallet, kan du inte bara sätta in de skrivna gränserna i en primitiv funktion. Byt först ut den problematiska gränsen mot en vanlig variabel. Undersök sedan vad som händer när variabeln närmar sig gränsen.

Det är detta som gör integralen generaliserad, eller oegentlig. Namnet beskriver upplägget, inte svaret. Vissa generaliserade integraler konvergerar mot ett ändligt tal, andra divergerar. Den här guiden ställer exempel bredvid varandra så att skillnaden syns. Om beteckningen för vanliga bestämda integraler ännu är ny, börja med vår introduktion till integraler. Guiden till gränsvärden förklarar det steg som avgör varje exempel nedan.

Hitta först det som gör integralen generaliserad

Två fall är vanliga. Ett oändligt intervall har en gräns som $+\infty$ eller $-\infty$. En obegränsad integrand har en punkt där funktionsvärdet växer utan gräns trots att de utskrivna integrationsgränserna är ändliga. Punkten kan ligga vid en ändpunkt eller inne i intervallet.

OpenStax Calculus, volym 2, §3.7 definierar båda fallen med gränsvärden. Skillnaden är viktig: att behandla $\infty$ som ett tal eller beräkna allt i ett steg över en inre singularitet kan ge ett svar som ser rimligt ut men är fel.

Ett ändligt gränsvärde betyder konvergens. Om uttrycket växer utan gräns eller inte närmar sig något ändligt värde av annan anledning, divergerar integralen. Samma primitiva funktion kan förekomma i båda utfallen. Att hitta den är bara en del av arbetet.

En metod i fyra steg

1. Leta efter varje problematisk gräns. Ta med ett oändligt intervallslut, en nolla i nämnaren, en logaritm utanför sin definitionsmängd och andra punkter där funktionen är obegränsad. En singularitet inne i intervallet kräver uppdelning innan du integrerar.

2. Byt ut en problematisk gräns mot en ändlig variabel. Skriv den vanliga integral som då uppstår. Ersätt till exempel $\int_1^{\infty} f(x)\,dx$ med $\int_1^R f(x)\,dx$ för ett ändligt $R>1$.

3. Beräkna den vanliga integralen. Här hjälper en primitiv funktion. Kontrollera dess definitionsmängd och tecken innan du sätter in de ändliga gränserna. Om direkt integration är svår kan en jämförelse ändå avgöra konvergensen.

4. Ta gränsvärdet och skriv slutsatsen. Lämna inte bara ett uttryck för ändligt $R$ eller $\varepsilon$. Skriv gränsvärdet och säg konvergent eller divergent. Har du delat vid en inre singularitet gör du detta oberoende på varje sida.

Ordningen gör lösningen möjlig att granska. Läsaren kan se om du kontrollerade rätt gräns och om det sista talet verkligen kommer från ett gränsvärde.

Mot oändligheten: en ändlig och en oändlig area

Börja med ett konvergent exempel:

$$\int_1^{\infty}\frac{1}{x^2}\,dx =\lim_{R\to\infty}\int_1^R x^{-2}\,dx =\lim_{R\to\infty}\left[-\frac1x\right]_1^R =\lim_{R\to\infty}\left(1-\frac1R\right)=1.$$

Intervallet tar aldrig slut, men den area som tillkommer blir tillräckligt liten för att totalen ska närma sig 1. Ändra nu bara exponenten i nämnaren:

$$\int_1^{\infty}\frac1x\,dx =\lim_{R\to\infty}\int_1^R\frac1x\,dx =\lim_{R\to\infty}[\ln x]_1^R =\lim_{R\to\infty}\ln R=+\infty.$$

Denna integral divergerar. Att $1/x$ går mot noll gör inte den sammanlagda arean ändlig. Funktionen avtar för långsamt. Jämförelsen är lärorik: båda integranderna går mot noll och har elementära primitiva funktioner, men bara en ger ett ändligt gränsvärde för integralen.

För $\int_1^{\infty}x^{-p}\,dx$ går gränsen vid $p=1$. Integralen konvergerar för $p>1$ och divergerar för $p\le1$. Genvägen följer av gränsvärdesberäkningen, även det logaritmiska fallet $p=1$. Om du är osäker på om exponent och intervall passar, skriv ut gränsvärdet i stället för att bara använda regeln.

Vid en ändpunkt: samma fråga från andra hållet

En integral kan vara generaliserad även när båda skrivna gränserna är ändliga. Vid $x=0$ är $x^{-1/2}$ obegränsad. Byt ut den nedre gränsen mot $\varepsilon>0$:

$$\int_0^1\frac1{\sqrt{x}}\,dx =\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{\varepsilon}^1 x^{-1/2}\,dx =\lim_{\varepsilon\to0^+}[2\sqrt{x}]_{\varepsilon}^1 =\lim_{\varepsilon\to0^+}2(1-\sqrt{\varepsilon})=2.$$

Funktionen växer utan gräns vid ändpunkten, men integralen konvergerar. Jämför med $1/x$ över samma intervall:

$$\int_0^1\frac1x\,dx =\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{\varepsilon}^1\frac1x\,dx =\lim_{\varepsilon\to0^+}(0-\ln\varepsilon)=+\infty.$$

Denna integral divergerar. Sätt inte in noll i $\ln x$, eftersom $\ln0$ inte är definierad. Gränsvärdet är själva frågan. Paret vid ändpunkten speglar paret vid oändligheten: varken en singularitet eller en primitiv funktion avgör konvergensen på egen hand.

Mitt i intervallet: ta inte ut en falsk annullering

Den farligaste genvägen uppstår när singulariteten ligger mellan två gränser som ser vanliga ut. Betrakta

$$\int_{-1}^{1}\frac1x\,dx.$$

Den primitiva funktionen $\ln|x|$ har samma värde vid $-1$ och $1$. Det är frestande att skriva noll. Men steget går genom $x=0$, där $1/x$ inte är definierad. Analysens huvudsats tillåter inte en enda subtraktion över den luckan. Undersök först varje sida för sig:

$$\int_{-1}^{0}\frac1x\,dx\qquad\text{och}\qquad\int_0^1\frac1x\,dx.$$

Varje sida kräver sitt eget gränsvärde. Till vänster ger $\varepsilon>0$ att $\int_{-1}^{-\varepsilon}1/x\,dx=\ln\varepsilon\to-\infty$. Till höger är $\int_{\varepsilon}^{1}1/x\,dx=-\ln\varepsilon\to+\infty$. Ingen sida konvergerar mot ett ändligt värde. Därför divergerar den ursprungliga generaliserade integralen.

En symmetrisk avskärning kan ge noll för varje positivt $\varepsilon$, men det är en annan konstruktion: Cauchys principalvärde. Den parar ihop två divergerande sidor så att de tar ut varandra. Det är inte värdet av den vanliga generaliserade integralen. Arbetsbladet från University of South Carolina anger kravet att kontrollera båda sidor vid en inre singularitet.

Om primitiv funktion är svår: jämför

Alla generaliserade integraler har inte en primitiv funktion som du vill räkna fram. För en icke-negativ integrand kan du jämföra storleken med en funktion vars beteende du redan känner. Exempelvis gäller för $x\ge1$ att

$$0<\frac1{x^2+1}\le\frac1{x^2}.$$

Eftersom $\int_1^{\infty}1/x^2\,dx$ konvergerar, konvergerar också den mindre icke-negativa integralen $\int_1^{\infty}1/(x^2+1)\,dx$. Detta bevisar konvergens utan att beräkna det exakta värdet. Jämförelsesatsen hos OpenStax, §3.7 förklarar villkoren. Olikhetens riktning spelar roll: att ligga under en funktion vars integral divergerar säger inget i sig, medan en icke-negativ funktion under en konvergent funktion ärver konvergensen.

Kontrollera svaret innan du lämnar in det

Nämn den problematiska gränsen och läs den sista raden. Bara en primitiv funktion, direkt insatt $\infty$ eller ett odefinierat $\ln0$ är inte en färdig lösning. Vid en inre singularitet måste två ensidiga gränsvärden vara ändliga. Symmetrisk annullering ersätter inte det kravet.

Prova två snabba kontroller. Konvergerar $\int_2^{\infty}1/x^2\,dx$? Samma beräkning ger $1/2$. Konvergerar $\int_0^1x^{-2}\,dx$? Gränsvärdet vid ändpunkten växer utan gräns, så integralen divergerar. Gränserna och slutsatserna skiljer sig trots att samma exponent förekommer. Om något svar förvånar dig, skriv versionen med ändlig gräns och låt gränsvärdet visa varför.

Math Zens guide till gränsvärden hjälper med det sista steget. Guiden till L'Hôpitals regel tar upp ett verktyg för vissa gränsvärdesformer men ersätter inte att hitta och dela upp en problematisk integralgräns. När varje problematisk punkt och rätt ensidiga gränsvärde finns på papperet är resten vanlig integralkalkyl igen.