Memorera matteformler (så att de verkligen fastnar)

Du lägger en kväll på att skriva andragradarformeln på ett minneskort, läser den om och om igen tills den känns inbränd i hjärnan, och går och lägger dig säker. Tre dagar senare frågar provet efter den och huvudet ger tillbaka ett tomrum, eller värre, en plausibel version med ett tecken på fel ställe. Det är en av de vanligaste frustrationerna i matte, och det är nästan aldrig ett tecken på dåligt minne. Det är ett tecken på en dålig memoreringsmetod.

De flesta försöker memorera formler som de skulle memorera ett telefonnummer: stirra på symbolerna och upprepa dem. Det fungerar för sju siffror du behöver i tio sekunder. Det fallerar för matteformler för att en formel inte är en godtycklig sträng. Den är en komprimerad idé, och tricket för att minnas den är att lagra idén, inte tecknen. Den här artikeln går igenom hur minne faktiskt fungerar för formler och ger dig en rutin som får dem att fastna.

Varför stum repetition fallerar för formler

Att stirra på en formel tills den ser bekant ut känns som lärande, men det bygger mest igenkänning. Igenkänning är känslan av "ja, det är den" när du ser svaret. Återkallning är förmågan att producera svaret när sidan är tom. Prov testar återkallning, och de två är nästan oberoende färdigheter. Du kan känna igen tusen ansikten som du aldrig skulle kunna rita ur minnet.

Det finns ett andra problem som är specifikt för matte. Formler reser i flockar av dubbelgångare. Arean av en cirkel, omkretsen av en cirkel, arean av en sfär, volymen av en sfär: den som pluggar stumt klämmer in alla fyra som separata teckensträngar och blandar sedan ihop dem under press, för ingenting i rå memorering talar om vilken som är vilken. Symbolerna flyter ihop. Den interferensen är varför att plugga en lång lista formler kvällen före ett prov är nära värdelöst; ju fler liknande formler du högar på en gång, desto mer raderar de varandra.

Lösningen är att ge varje formel en mening att hänga på, så att den slutar vara en sträng och börjar vara en historia.

Förstå formeln innan du försöker minnas den

Det enskilt mest lönsamma draget är att förstå var en formel kommer ifrån innan du memorerar dess slutform. En formel du förstår är en sammanhängande idé. En formel du inte förstår är ett dussin lösa symboler, och minnet är långt bättre på att lagra en sak än tolv.

Ta andragradarformeln, den klassiska memoreringsmardrömmen. Lärd som en rå sträng är den en munsbit av plus-eller-minus, kvadratrötter och en nämnare som elever ständigt får fel. Men andragradarformeln är bara vad du får när du kompletterar kvadraten på den allmänna ekvationen. Arbeta igenom den härledningen en gång, långsamt, och varje bit har ett skäl: det negativa b, b i kvadrat minus 4ac under roten (diskriminanten som avgör hur många lösningar som finns), 2a i nämnaren. Nu är det inte en sträng att vakta mot fördärv. Det är ett resultat du skulle kunna bygga om från grunden om du måste. Det är samma skifte vi beskriver för förstå andragradsekvationer intuitivt: när meningen klickar följer symbolerna.

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Samma logik täcker merparten av kursen. Avståndsformeln är Pythagoras sats med de två kateterna skrivna som koordinatskillnader; kan du den ena kan du nästan den andra. Formeln för summan av en aritmetisk serie är bara medeltermen gånger antalet termer. Derivatan av en produkt har sina två symmetriska halvor av ett skäl du kan se i en liten bild. Förståelse ersätter inte memorering, men den skär mängden du måste memorera till en bråkdel, och den ger dig ett skyddsnät när minnet ensamt fallerar.

Öva framplockning, inte omläsning

När du väl förstår en formel avgör sättet du övar den om den håller. Instinkten är att läsa om den några gånger till. Evidensen, från årtionden av forskning om testeffekten, är att omläsning är ett av de svagaste du kan göra. Det starka draget är framplockning: stäng boken och skriv formeln ur minnet, kolla sedan.

Det ögonblicket av att räcka efter en halvt ihågkommen formel, osäker på om exponenten är 2 eller 3, känns obekvämt, och obehaget är poängen. Mödosam framplockning är det som talar om för hjärnan att den här informationen spelar roll och stärker vägen dit. Att läsa formeln av sidan kräver ingenting av minnet och stärker ingenting. Det är samma princip som styr effektivt pluggande i allmänhet, vilket vi tar upp i hur man studerar matte effektivt: producera svar, granska dem inte bara.

En konkret övning: håll ett löpande blad med formlerna för ett avsnitt, men bara namnen, inte formlerna. "Andragradarformeln." "Cosinussatsen." "Derivatan av sinus." Gå nerför listan och skriv varje ur minnet, vänd sedan till en referens för att kolla. De du har rätt på är nära klara. De du missar talar om precis var du ska lägga de närmaste minuterna.

Sprid dina repetitioner i stället för att hopa dem

Anta att du kan skriva en formel korrekt tio gånger i rad ikväll. Det känns som mästerskap. Kom tillbaka om tre dagar och den kan vara borta ändå, för hopad repetition i ett enda pass producerar minnen som bleknar snabbt. Det kontraintuitiva fyndet är att lite glömska mellan repetitionerna får nästa repetition att fastna hårdare.

Sprid alltså dina framplockningsförsök över dagar. Lär formeln idag, testa dig i morgon, igen två eller tre dagar senare, sedan en vecka efter det. Varje gång du lyckas dra tillbaka formeln efter att glömskan börjat blir minnet mer hållbart och nästa lucka kan bli längre. Det är spridningseffekten, och det är skälet till att fem korta pass över en vecka slår ett långt pass, även när den totala tiden är identisk. Vi går djupt in på mekanismen och hur du schemalägger den i spridd repetition för matteövning.

Den praktiska versionen kräver inget komplicerat system. En formel du spikade lätt kan vänta längre till nästa repetition; en du fumlade med kommer tillbaka tidigare. Den enda regeln, repetera de vacklande oftare och de solida mer sällan, är merparten av vad ett bra spridningsschema gör.

Använd minnesramsor och chunking, men sparsamt

Vissa fakta har genuint ingen inre logik att luta sig mot. Ordningen i vilken trigförhållanden paras med sidor är en konvention, inte en konsekvens, vilket är varför SOH CAH TOA har överlevt i generationer. Räknereglernas ordning är en annan. För en liten uppsättning av dessa är en minnesramsa eller ett rim ett legitimt verktyg, och det finns ingen skam i att använda ett.

Faran är att ta till minnesramsor som första drag i stället för sista. En minnesramsa lagrar symbolerna medan den gömmer meningen, så den går sönder i samma ögonblick en uppgift formuleras på ett sätt som rimmet inte förutsatte. Elever som lär all trigonometri som SOH CAH TOA och inget mer är vilse i samma ögonblick en uppgift behöver enhetscirkeln. Använd minnesramsor för att fästa den näve godtyckliga ordningar och etiketter som motstår förståelse, och låt förståelse bära allt annat.

Chunking hjälper också. En lång formel är lättare att hålla om du bryter den i meningsfulla bitar i stället för en odelad klump. Andragradarformeln är egentligen tre chunks: det negativa b, plus-eller-minus-roten av diskriminanten, allt över 2a. Att minnas tre meningsfulla chunks är långt lättare än att minnas femton enskilda symboler i ordning.

Tillämpa formler, lagra dem inte bara

En formel du kan recitera men inte använda är bara till hälften lärd, och prov testar den andra hälften. Att känna igen när en formel gäller är en separat färdighet från att minnas vad den säger, och den tränas bara genom att lösa varierade uppgifter.

Här kommer isolerad kortleksdrill till korta. Minnes-kort kan göra framplockningen automatisk, vilket är värt att göra, men de lär dig aldrig att just den här textuppgiften i hemlighet är ett cosinussats-problem. För det behöver du möta formeln i många förklädnader. Att blanda uppgiftstyper medan du övar, i stället för att göra tjugo identiska övningar i rad, tvingar dig att avgöra vilken formel en situation kallar på, vilket är precis vad ett prov kräver. Det knyter också varje formel till konkreta situationer, och de knytningarna är extra handtag för minnet att greppa. Samma blandade, låginsatsövning som bygger huvudräkningsflyt bygger formelflyt av samma skäl.

Hur Math Zen får formler att fastna

Math Zen är byggt så att de effektiva metoderna händer utan att du måste organisera dem. Eftersom du lär genom att lösa uppgifter i stället för att läsa lösningar är du i framplockningsläge som standard: varje skärm ber dig producera ett svar, vilket betyder att producera formeln, inte bara känna igen den. Det adaptiva bucket-systemet sprider och tar tillbaka varje ämne automatiskt, så formler du är vacklande på kommer tillbaka tidigare och solida senare, utan att du spårar något schema. Och eftersom uppgifter kommer blandade i stället för blockade övar du att välja rätt formel för situationen, inte bara recitera den. Resultatet är att formler memoreras som en bieffekt av övning, vilket är där de hör hemma.

Poängen

Formler fastnar inte för att du stirrade på dem tillräckligt länge. De fastnar för att du förstod var de kom ifrån, drog dem ur minnet i stället för att läsa dem av en sida, repeterade dem över dagar i stället för på en gång, sparade minnesramsor till de få fakta som saknar logik, och använde dem på riktiga uppgifter. Var och en av dessa känns långsammare än att läsa om ett minneskort, och var och en fungerar bättre.

Nästa gång en formel glider undan tre dagar efter att du "memorerade" den, svara inte med att stirra hårdare. Förstå den, stäng boken, och försök skriva den ur ingenting. Kampen att återskapa den är inte metoden som fallerar. Det är metoden som fungerar.