Угловой коэффициент прямой интуитивно: Δy/Δx, формула и y = mx + b

На горной дороге стоит знак: уклон 8%. Это число описывает участок впереди: на каждые 100 футов по горизонтали дорога поднимается или опускается на 8 футов, в зависимости от того, в какую сторону вы едете. Сократите расстояние до одного фута, и изменение составит 0,08 фута.

Число 0,08 и есть угловой коэффициент. Он показывает, на сколько меняется одна величина (высота) при каждом шаге в одну единицу по другой величине (расстоянию по горизонтали). На графике эти величины обозначены $y$ и $x$, и вопрос тот же: когда $x$ сдвигается на один шаг вправо, на сколько и в какую сторону сдвигается $y$?

Отношение Δy к Δx, формула углового коэффициента, $y = mx + b$ и уравнение прямой через точку: это четыре способа записать один и тот же ответ.

Угловой коэффициент показывает скорость изменения, а не форму

Угловой коэффициент похож на наклон, но на самом деле это число, и это число выражает скорость изменения.

Классическое определение: изменение по вертикали, делённое на изменение по горизонтали, или Δy/Δx. Для двух точек прямой Δy обозначает изменение по вертикали (по $y$), а Δx обозначает изменение по горизонтали (по $x$):

$$\text{угловой коэффициент} = \frac{\text{изменение y}}{\text{изменение x}}$$

Деление на Δx превращает общее изменение в изменение на один шаг: подъём на 6 при сдвиге вправо на 3 даёт тот же угловой коэффициент, что и подъём на 2 при сдвиге на 1, потому что в обоих случаях $y$ растёт на 2 на каждую единицу $x$. В этой статье, как и в англоязычных учебниках алгебры, это число обозначается $m$.

Поскольку угловой коэффициент равен одной величине, делённой на другую, у него есть единицы измерения: доллары за гигабайт у мобильного тарифа, метры в секунду (скорость) для расстояния, делённого на время. Слова «за каждый» или «в час» в текстовой задаче обычно указывают на угловой коэффициент.

Знак углового коэффициента показывает направление: при положительном прямая идёт вверх, если смотреть слева направо, а при отрицательном вниз. У дороги с уклоном 8% угловой коэффициент равен 0,08 для водителя, который едет в гору, и $-0.08$ для того, кто едет под гору. Модуль показывает крутизну: прямая с угловым коэффициентом 5 круче, чем с коэффициентом 2, а с $-5$ круче, чем с $-2$, хотя как число $-5$ меньше.

Картинка может ввести в заблуждение. Растяните ось y, и любая наклонная прямая будет выглядеть круче, хотя ни один угловой коэффициент не изменится, потому что угловой коэффициент измеряется в единицах осей, а не как угол на странице.

Как найти угловой коэффициент по двум точкам

Как находить угловой коэффициент, зависит от того, что дано. Если даны две точки, вычтите ординаты, чтобы получить Δy, и абсциссы, чтобы получить Δx. Это и есть формула углового коэффициента:

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

Возьмём $(2, 3)$ за точку 1 и $(6, 11)$ за точку 2:

$$m = \frac{11 - 3}{6 - 2} = \frac{8}{4} = 2$$

Прочитаем ответ как скорость изменения. От $x = 2$ до $x = 6$ четыре шага, и при 2 на каждый шаг $y$ должен вырасти на 8, с 3 до 11. Так и есть.

Какую точку считать первой, решаете вы. Назовите $(6, 11)$ точкой 1, и обе разности поменяют порядок:

$$m = \frac{3 - 11}{2 - 6} = \frac{-8}{-4} = 2$$

И Δy, и Δx сменили знак, поэтому ответ не изменился. А если поменять порядок только в одном месте, ответ будет неверным: $11 - 3$, делённое на $2 - 6$, даёт $\frac{8}{-4} = -2$, то есть прямую, наклонённую не в ту сторону. Точка, которая стоит первой в числителе, должна стоять первой и в знаменателе.

Отрицательный угловой коэффициент получается по той же формуле. Для точек $(1, 7)$ и $(4, 1)$:

$$m = \frac{1 - 7}{4 - 1} = \frac{-6}{3} = -2$$

На каждом шаге вправо $y$ уменьшается на 2, поэтому за три шага он опускается с 7 до 1.

Угловой коэффициент прямой одинаков для любых двух её точек: $(4, 7)$ тоже лежит на первой прямой, и вместе с $(2, 3)$ снова даёт $\frac{4}{2} = 2$. Именно эта постоянная скорость изменения делает линию прямой.

Как определить угловой коэффициент по графику

На графике вместо вычитания можно просто считать. Выберите два узла сетки (точки, где прямая проходит ровно через пересечение линий сетки) и отсчитайте от левого к правому: число единиц вверх или вниз даёт Δy, число единиц вправо даёт Δx. При движении слева направо Δx остаётся положительным, поэтому знак определяет только Δy.

Любая прямая попадает в один из четырёх случаев:

Прямая на графике	Пример	Отношение Δy к Δx	Угловой коэффициент
Поднимается слева направо	$y = 2x + 1$	положительное к положительному	положительный
Опускается слева направо	$y = -3x + 4$	отрицательное к положительному	отрицательный
Горизонтальная	$y = 5$	0 к любому Δx	0
Вертикальная	$x = 5$	любое Δy к 0	не определён

Последние две строки легко перепутать, потому что в обеих участвует ноль. На горизонтальной прямой $y = c$ у каждой точки одно и то же значение y, поэтому изменение y равно 0, а 0, делённый на ненулевое изменение x, равен 0. У этой прямой есть угловой коэффициент, и он равен нулю.

На вертикальной прямой $x = c$ у каждой точки одно и то же значение x, поэтому изменение x равно 0, а деление на ноль не определено. Если говорить о скорости изменения, прямая ни разу не делает шага по $x$, поэтому у вопроса «на сколько меняется $y$ за шаг по $x$» нет ответа. Если услышите, что у вертикальной прямой «нет углового коэффициента», понимайте это как «не определён», а не как «равен нулю».

Уравнение прямой с угловым коэффициентом: y = mx + b

Уравнение с угловым коэффициентом сразу показывает два ключевых числа прямой:

$$y = mx + b$$

Здесь $m$ обозначает угловой коэффициент (в российских учебниках его обозначают k и пишут y = kx + b), а $b$ обозначает значение $y$ при $x = 0$, там, где прямая пересекает ось y. Эту точку называют точкой пересечения с осью y, и в прикладных задачах она обычно задаёт начальное значение.

Допустим, мобильный тариф стоит 15 долларов в месяц плюс 2 доллара за каждый гигабайт трафика. Если израсходовано $x$ гигабайт, а счёт составляет $y$ долларов, то:

$$y = 2x + 15$$

Если совсем не пользоваться трафиком, вы платите 15 долларов: это точка пересечения с осью y. Каждый гигабайт добавляет 2 доллара: это угловой коэффициент. Поэтому 5 гигабайт обойдутся в $2(5) + 15 = 25$ долларов. Чтобы построить график, отметьте точку $(0, 15)$, а затем снова и снова сдвигайтесь на 1 вправо и на 2 вверх.

Часто уравнение прямой дано в общем виде, $Ax + By = C$, и угловой коэффициент в нём не виден. Выразите $y$, и он появится:

$$y = -\frac{A}{B}x + \frac{C}{B}$$

Значит, угловой коэффициент равен $-\frac{A}{B}$ при любом $B \neq 0$. Для $3x + 4y = 12$ вычтите $3x$ из обеих частей и разделите на 4: $y = -\frac{3}{4}x + 3$. Угловой коэффициент равен $-\frac{3}{4}$, а прямая пересекает ось y в точке с ординатой 3.

Это подтверждают точки пересечения с осями: прямая проходит через $(0, 3)$ и $(4, 0)$, и $\frac{0 - 3}{4 - 0} = -\frac{3}{4}$. Когда $B = 0$, уравнение принимает вид $Ax = C$ и задаёт вертикальную прямую, и как раз тогда в $-\frac{A}{B}$ пришлось бы делить на ноль.

Уравнение прямой через точку: начните с известной точки

Часто известны угловой коэффициент и одна точка, но не точка пересечения с осью y. Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом, использует именно эту информацию:

$$y - y_1 = m(x - x_1)$$

На словах: от известной точки $(x_1, y_1)$ значение $y$ меняется на $m$ при каждом шаге по $x$. Это та же формула углового коэффициента, только записанная иначе: для любой другой точки $(x, y)$ прямой выполняется $\frac{y - y_1}{x - x_1} = m$, и если умножить обе части на $x - x_1$, получится уравнение прямой через точку.

Составим уравнение прямой с угловым коэффициентом 3, проходящей через точку $(2, 5)$:

$$y - 5 = 3(x - 2)$$

Это уже верный ответ. Чтобы перейти к уравнению с угловым коэффициентом, раскроем скобки, а затем прибавим 5 к обеим частям:

$$y - 5 = 3x - 6$$ $$y = 3x - 1$$

Проверим по известной точке: $3(2) - 1 = 5$.

Если прямая задана двумя точками, нужен ещё один шаг. Для $(2, 3)$ и $(6, 11)$ угловой коэффициент, как мы уже вычислили, равен 2, поэтому $y - 3 = 2(x - 2)$, что после упрощения даёт $y = 2x - 1$. Вторая точка это подтверждает: $2(6) - 1 = 11$.

Выбирайте запись по тому, что вам известно. Уравнение с угловым коэффициентом удобно для построения графика и для любой задачи с начальным значением, как в примере с тарифом. Уравнение через точку быстрее всего составить по точке и угловому коэффициенту или по двум точкам. Общее уравнение сохраняет целые коэффициенты, позволяет быстро найти обе точки пересечения с осями и готовит уравнения к методу исключения.

Параллельные и перпендикулярные прямые

Две прямые с одинаковым угловым коэффициентом поднимаются с одинаковой скоростью, поэтому расстояние между ними по вертикали не меняется. Если они пересекают ось y в разных точках, то они параллельны и не имеют общих точек: у $y = 2x + 1$ и $y = 2x - 4$ одинаковое $m$ и разные $b$.

Для перпендикулярных прямых правило менее очевидно. Если ни одна из них не вертикальна, их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку: переверните дробь и смените знак. Иначе говоря, произведение двух угловых коэффициентов равно $-1$. Угловому коэффициенту 2 соответствует $-\frac{1}{2}$, а коэффициенту $-\frac{3}{4}$ соответствует $\frac{4}{3}$.

Правило следует из поворота шага. Один шаг вдоль прямой с угловым коэффициентом 2 складывается из 1 по горизонтали и 2 по вертикали. Поверните этот шаг на четверть оборота против часовой стрелки, и числа поменяются местами, причём одно из них сменит знак: $-2$ по горизонтали, 1 по вертикали. Новый угловой коэффициент равен $\frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$.

Поэтому прямая, перпендикулярная $y = 2x - 1$ и проходящая через $(4, 1)$, имеет угловой коэффициент $-\frac{1}{2}$: $y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 4)$, или $y = -\frac{1}{2}x + 3$. Оговорка про вертикальные прямые важна: горизонтальная и вертикальная прямые перпендикулярны, но у вертикальной нет углового коэффициента, который можно было бы умножить. В разделе OpenStax о линейных функциях разобрано больше примеров параллельных и перпендикулярных прямых и больше упражнений на составление уравнения прямой.

Куда ведёт угловой коэффициент дальше

У прямой угловой коэффициент везде один и тот же, у кривой нет. Отношение Δy к Δx, то есть приращения функции к приращению аргумента, между двумя точками кривой по-прежнему имеет смысл и даёт среднюю скорость изменения: угловой коэффициент секущей, проходящей через обе точки. Для $f(x) = x^2$ между $x = 1$ и $x = 3$:

$$\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{9 - 1}{2} = 4$$

Сдвигайте вторую точку к $x = 1$, и среднее значение будет меняться: 3 на отрезке от 1 до 2, 2,5 от 1 до 1,5, 2,1 от 1 до 1,1. Значения приближаются к 2, угловому коэффициенту касательной в точке $x = 1$. Этот предельный угловой коэффициент и есть производная, а наше руководство по производным строит математический анализ именно на этой картине.

Ближе к алгебре: именно постоянный угловой коэффициент делает линейную функцию линейной, как показывает наше руководство по функциям вместе с другими распространёнными видами графиков. А поскольку график каждого линейного уравнения с двумя переменными является прямой, угловые коэффициенты предсказывают, как ведёт себя система уравнений: прямые с разными угловыми коэффициентами пересекаются ровно в одной точке, прямые с равными коэффициентами и разными точками пересечения с осью y не пересекаются никогда, а два уравнения одной и той же прямой имеют общими все точки.

Частые ошибки с угловым коэффициентом

• Делить Δx на Δy. Если разделить изменение по горизонтали на изменение по вертикали, получится обратное число: $\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ вместо 2 для первой пары точек. Раз $y$ изменился на 8, а $x$ только на 4, угловой коэффициент обязан быть больше 1.
• Разный порядок точек. Если в числителе и знаменателе начать вычитание с разных точек, знак сменится на противоположный. Сначала пронумеруйте точки.
• Потерянные минусы при отрицательных координатах. Для $(-3, -4)$ и $(1, 4)$ изменение y равно $4 - (-4) = 8$, а не 0, а изменение x равно $1 - (-3) = 4$, поэтому угловой коэффициент равен 2. Берите в скобки каждую отрицательную координату, которую подставляете.
• Считать, что у вертикальной прямой угловой коэффициент равен нулю. У ровного пола угловой коэффициент равен нулю. У стены он не определён.
• Принимать точку пересечения с осью y за крутизну. Прямая $y = 0.5x + 100$ начинается высоко, но растёт медленно, а $y = 3x + 1$ начинается низко и растёт в шесть раз быстрее. Точка пересечения с осью y сдвигает прямую вверх или вниз, а крутизну меняет только $m$.

Тренируйтесь переходить от одной записи к другой

Возьмите одну прямую и поработайте с ней во всех формах: две точки, график, $y = mx + b$, уравнение через точку и общее уравнение. Переводите одну запись в другую, пока каждое преобразование не станет привычным, и добавляйте горизонтальные и вертикальные прямые, чтобы ноль в числителе и ноль в знаменателе перестали казаться одинаковыми.

В Math Zen нет отдельного тренажёра на угловой коэффициент, поэтому ближайшая практика распределена между двумя темами: Анализ графиков для точек пересечения и чтения графиков, а Алгебра для решения уравнений и линейных систем, где угловые коэффициенты определяют, пересекутся ли две прямые. Линейные уравнения и угловой коэффициент встречаются также на экзаменах SAT, ACT и GED; наше руководство по математике SAT показывает, в каких разделах этого экзамена они появляются.

Каждая формула здесь отвечает на вопрос дорожного знака: на сколько меняется $y$, когда $x$ делает один шаг? Если формула вылетела из головы, задайте этот вопрос числам, которые перед вами, и выведите формулу заново.