Уравнения с модулем: решаем через понятие расстояния

Две черты в записи $|x|$ часто выглядят как очередная инструкция, которую нужно запомнить. Вместо этого прочитайте их как вопрос: на каком расстоянии это число находится от нуля?

Пять находится в пяти шагах от нуля. Минус пять тоже находится в пяти шагах от нуля, только с другой стороны. Поэтому $|5| = 5$ и $|-5| = 5$. Модуль сохраняет расстояние и отбрасывает направление.

Когда эта картина становится понятной, решение уравнения с модулем превращается в поиск точек, находящихся на заданном расстоянии. Привычные два случая следуют из устройства числовой прямой, а не являются искусственным алгебраическим приемом.

Расстояние может быть нулевым, но не отрицательным

Модуль дает неотрицательный результат. Слово «неотрицательный» здесь важно: ноль допустим, поэтому утверждение, что модуль всегда делает число положительным, немного неточно.

Для действительного числа $x$ определение выглядит так:

$$|x| = \begin{cases}x & x \geq 0 \\ -x & x < 0\end{cases}$$

Вторая строка не означает, что ответ отрицательный. Если $x = -7$, то $-x = -(-7) = 7$. Знак минуса меняет направление уже отрицательного числа. В нашем руководстве по отрицательным числам этот переход разобран подробнее.

Сначала вычислите выражение внутри знаков модуля, а затем найдите его модуль:

$$|3 - 8| = |-5| = 5$$

В общем случае нельзя раскрывать знак модуля отдельно для каждого слагаемого при вычитании. Здесь $|3| - |8| = -5$, а это другой результат. Знаки модуля охватывают одно полное выражение, и именно его значение превращается в расстояние.

Почему появляются два ответа

Рассмотрим уравнение:

$$|x| = 6$$

Какие точки находятся на расстоянии шести единиц от нуля? Таких точек две: $x = 6$ и $x = -6$. Обе удовлетворяют уравнению, и ни одна не является более правильной.

Теперь сдвинем точку отсчета:

$$|x - 4| = 6$$

Выражение $x - 4$ задает разность со знаком между $x$ и 4. Его модуль равен расстоянию между этими двумя точками. От числа 4 отложим шесть единиц вправо или шесть единиц влево:

$$x = 4 + 6 = 10 \quad \text{или} \quad x = 4 - 6 = -2$$

Проверим оба ответа прямой подстановкой: $|10 - 4| = 6$ и $|-2 - 4| = 6$.

Точка отсчета не обязана быть положительной. В уравнении $|x + 3| = 2$ мысленно перепишите выражение внутри модуля как $x - (-3)$. Центр находится в точке -3, поэтому решения равны -1 и -5.

Перед разбиением на случаи обособьте модуль

Основное правило для положительной константы $c$:

$$|A| = c \quad \Longleftrightarrow \quad A = c \;\text{или}\; A = -c$$

Здесь $A$ обозначает все выражение внутри знаков модуля. Прежде чем применять правило, обособьте модуль с помощью тех же операций, сохраняющих равенство, что и в обычной алгебре.

Решим пример:

$$3|2x - 1| + 4 = 25$$

Вычтем 4:

$$3|2x - 1| = 21$$

Разделим на 3:

$$|2x - 1| = 7$$

Теперь разобьем задачу на два уравнения:

$$2x - 1 = 7 \quad \text{или} \quad 2x - 1 = -7$$

Из первого получаем $2x = 8$, поэтому $x = 4$. Из второго получаем $2x = -6$, поэтому $x = -3$.

Подстановка в исходное уравнение дает $3|8 - 1| + 4 = 25$ и $3|-6 - 1| + 4 = 25$. Оба ответа подходят.

Не разбивайте исходное уравнение на случаи, просто заменяя 25 на -25. Правило модуля меняет знак обособленного расстояния, а не знак каждого члена задачи. В Paul's Online Math Notes при разборе таких уравнений также подчеркивается необходимость сначала обособить модуль, а затем проверить ответы.

Прежде чем продолжать вычисления, проверьте, существует ли решение

Пусть дано уравнение:

$$2|x + 1| + 5 = 1$$

После вычитания 5 и деления на 2 получаем:

$$|x + 1| = -2$$

Остановитесь. Действительное число не может находиться на расстоянии минус две единицы. Если записать $x + 1 = -2$ и $x + 1 = 2$, получатся искусственные ответы на другой вопрос.

Ноль представляет собой отдельный случай:

$$|3x - 9| = 0$$

Выражение внутри модуля должно быть равно нулю, поэтому $3x - 9 = 0$ и $x = 3$. Положительный и отрицательный ноль дадут один и тот же ответ дважды.

Если обособлен модуль непостоянного линейного выражения, положительная константа дает два решения, ноль дает одно, а отрицательная константа не дает ни одного. Не переносите эту краткую схему на любое уравнение с модулем: выражение внутри может быть квадратным, а правая часть может содержать переменную.

Переменная в правой части требует проверки знака

Теперь решим:

$$|x - 2| = 2x + 1$$

Левая часть не может быть отрицательной, поэтому решение должно удовлетворять условию $2x + 1 \geq 0$, то есть $x \geq -\frac{1}{2}$.

Рассмотрим два возможных уравнения:

$$x - 2 = 2x + 1 \quad \text{или} \quad x - 2 = -(2x + 1)$$

Первое дает $x = -3$. Это значение не проходит проверку знака. При подстановке в исходное уравнение ошибка становится очевидной: левая часть равна 5, а правая равна -5.

Второе дает $3x = 1$, поэтому $x = \frac{1}{3}$. После подстановки обе части равны $\frac{5}{3}$. Это единственное решение.

Проверка особенно полезна, когда выполненная операция может породить значения, которые не удовлетворяют исходному уравнению. Например, возведение обеих частей в квадрат тоже способно на это: оно стирает различие между положительной и отрицательной правой частью.

Два модуля сравнивают два расстояния

Уравнение со знаками модуля в обеих частях тоже может быть простым:

$$|x - 1| = |x + 5|$$

Нужно найти точку, равноудаленную от 1 и -5. На числовой прямой это их середина, $x = -2$.

Алгебра приводит к тому же ответу. Равные модули означают, что выражения внутри них равны или противоположны:

$$x - 1 = x + 5 \quad \text{или} \quad x - 1 = -(x + 5)$$

Первое уравнение сводится к $-1 = 5$, поэтому решений у него нет. Второе превращается в $2x = -4$, откуда $x = -2$. Расстояние от этой точки до каждой точки отсчета равно 3.

Это не то же самое, что уравнение с суммой, например $|x - 1| + |x + 5| = 10$. Нельзя снять все знаки модуля одним разбиением на два случая. Такие задачи обычно решают по интервалам, границы которых задаются точками смены знака каждого внутреннего выражения.

График наглядно показывает количество решений

График функции $y = |x|$ имеет форму буквы V. Справа от нуля он совпадает с $y = x$, а слева с $y = -x$. Острие буквы V называется вершиной.

У функции $y = |x - 4|$ вершина перемещается в точку $(4, 0)$. Решить уравнение $|x - 4| = 6$ означает найти точки пересечения этого V-образного графика с горизонтальной прямой $y = 6$. Пересечений два: при $x = -2$ и $x = 10$.

Горизонтальная прямая на уровне нуля касается вершины один раз. Прямая ниже нуля вообще не пересекает график. Так схема «два, одно или ноль» выглядит на рисунке.

Если заменить равенство неравенством, нужно будет найти область, а не отдельные точки пересечения. Например, $|x - 4| < 6$ означает, что расстояние от 4 меньше 6, поэтому $-2 < x < 10$. В нашем руководстве по неравенствам разобран этот следующий шаг.

Краткий алгоритм решения

Сначала вычислите все числовые выражения внутри знаков модуля. Затем обособьте один модуль, проверьте знак другой части и разбивайте задачу на случаи, только если этот знак позволяет это сделать. Решите каждый случай и подставьте все найденные значения в исходное уравнение.

Закрепите этот алгоритм в разделе Math Zen по алгебре, где есть тема «Модуль числа». Начинайте с представления о расстоянии и лишь затем переходите к правилу двух случаев. Если вы можете объяснить, где находится точка отсчета и какое расстояние задает уравнение, у алгебры появляется ясная задача.