Lei dos senos e lei dos cossenos: qual usar e quando

Um topógrafo conhece dois lados de um terreno e o ângulo entre eles, e precisa do terceiro lado. Um piloto conhece dois ângulos do triângulo que forma com dois radiofaróis, e uma distância. Nenhum dos dois triângulos tem ângulo reto, então SOH CAH TOA não ajuda. É para isso que servem a lei dos senos e a lei dos cossenos, as duas regras que resolvem qualquer triângulo quando você conhece três de seus elementos (desde que um deles seja um lado).

A parte difícil raramente é a fórmula. É escolher qual lei usar e perceber a única situação em que a calculadora devolve, sem avisar, um ângulo errado. Este guia começa com uma tabela de decisão, resolve um exemplo para cada caso e depois leva um único triângulo por todos os desfechos do caso ambíguo, mudando apenas um lado. Se seno e cosseno ainda parecem botões e não ideias, o guia de trigonometria os reconstrói primeiro.

Notação em todo o texto: os ângulos A, B e C ficam opostos aos lados a, b e c.

Qual lei usar: comece pelo que é dado

Todo problema de triângulo com solução dá três elementos. Dê nome ao padrão e a lei vem junto:

Dados, lei a usar e primeira incógnita

Você tem	Padrão	Lei a usar	O que achar primeiro
Dois ângulos e um lado que não está entre eles	LAAo	Lei dos senos	O terceiro ângulo (180° menos os outros dois) e depois os lados
Dois ângulos e o lado entre eles	ALA	Lei dos senos	O terceiro ângulo e depois os lados
Dois lados e um ângulo que não está entre eles	LLA	Lei dos senos, com cuidado	O ângulo oposto ao segundo lado conhecido; verifique se há 0, 1 ou 2 triângulos
Dois lados e o ângulo entre eles	LAL	Lei dos cossenos	O terceiro lado
Os três lados	LLL	Lei dos cossenos	O maior ângulo (oposto ao lado mais longo)
Os três ângulos	AAA	Nenhuma	Não há resposta única: servem triângulos semelhantes de qualquer tamanho

Essa divisão segue o texto de pré-cálculo da OpenStax: a lei dos senos cobre ALA, LAAo e LLA, e a lei dos cossenos é a ferramenta para os dois casos que a lei dos senos não resolve, LAL e LLL (OpenStax, law of sines; OpenStax, law of cosines).

O motivo é fácil de enxergar nas fórmulas. A lei dos senos compara cada lado com o seu ângulo oposto:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$

Para usá-la, você precisa de pelo menos um par completo: um lado junto com o ângulo que está à sua frente. LAL e LLL nunca dão um par completo, então é preciso outra regra para começar.

A lei dos cossenos: Pitágoras mais uma correção

A lei dos cossenos, em suas três formas, é

$$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\cos A$$ $$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2ac\cos B$$ $$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab\cos C$$

Olhe a última com $C = 90^{\circ}$. Então $\cos C = 0$, o termo final some e sobra $a^{2} + b^{2} = c^{2}$. A lei dos cossenos é o teorema de Pitágoras com um termo de correção para ângulos que não são retos. A OpenStax chama a identidade de que parte de "Teorema de Pitágoras generalizado". A ideia é antiga: as proposições 12 e 13 do Livro II dos Elementos de Euclides a provam para triângulos obtusângulos e acutângulos em linguagem puramente geométrica, muito antes de existirem os cossenos (Euclid II.12, Clark University edition).

A correção tem um significado claro. Quando C é agudo, $\cos C$ é positivo, então c sai menor que o valor pitagórico. Quando C é obtuso, $\cos C$ é negativo, e o sinal de menos transforma a correção numa soma, então c sai maior. Abra o ângulo e o lado oposto se estica; feche-o e ele encolhe.

Exemplo resolvido de LAL

Dois lados medem $b = 8$ e $c = 11$, e o ângulo entre eles é $A = 40^{\circ}$. Ache o resto.

Terceiro lado. Substitua na forma que tem o ângulo conhecido:

$$a^{2} = 8^{2} + 11^{2} - 2(8)(11)\cos 40^{\circ} = 185 - 134.82 = 50.18$$

portanto $a \approx 7.08$. Para comparar, um ângulo reto em A teria dado $\sqrt{185} \approx 13.60$; o ângulo de 40° reduz isso quase à metade.

Ângulos restantes. Agora existe um par completo (a com A), então a lei dos senos funciona. Resolva para o ângulo oposto ao menor dos outros dois lados, que é b:

$$\sin B = \frac{8 \sin 40^{\circ}}{7.08} \approx 0.7260, \quad B \approx 46.55^{\circ}$$

Então $C = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 46.55^{\circ} = 93.45^{\circ}$.

Repare que C é obtuso. Se você tivesse usado a lei dos senos em C, o arco seno da calculadora teria devolvido 86,55°, o ângulo agudo com o mesmo seno, e todos os números seguintes estariam errados. Resolver primeiro o ângulo menor evita isso: em qualquer triângulo, o ângulo oposto a um lado menor é menor, e no máximo um ângulo pode medir 90° ou mais, então o ângulo oposto ao lado menor é sempre agudo.

Os mesmos dados também dão a área diretamente, usando metade do produto de dois lados pelo seno do ângulo entre eles (a fórmula de área da seção da OpenStax sobre a lei dos senos): $\tfrac{1}{2}(8)(11)\sin 40^{\circ} \approx 28.28$.

LLL: ache primeiro o maior ângulo

Com os três lados, reorganize a lei dos cossenos para isolar o cosseno:

$$\cos C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2ab}$$

Pegue o triângulo de lados 5, 7 e 9. O lado mais longo é 9, então comece pelo ângulo oposto a ele:

$$\cos C = \frac{25 + 49 - 81}{2(5)(7)} = \frac{-7}{70} = -0.1, \quad C \approx 95.74^{\circ}$$

O cosseno negativo diz na hora que C é obtuso. Agora a lei dos senos é segura para os outros, porque os dois ângulos restantes têm de ser agudos:

$$\sin A = \frac{5 \sin 95.74^{\circ}}{9} \approx 0.5528, \quad A \approx 33.56^{\circ}$$

e $B = 180^{\circ} - 95.74^{\circ} - 33.56^{\circ} = 50.70^{\circ}$. Uma verificação com a lei dos cossenos para B dá os mesmos 50,70°.

Faça na outra ordem e a armadilha aparece. Ache A primeiro e depois use a lei dos senos para C: você obtém $\sin C \approx 0.9950$, e o arco seno diz 84,26°. O ângulo verdadeiro é o seu suplemento, 95,74°. As notas de aula da Universidade de Houston dizem isso com clareza: se há escolha, "geralmente é melhor achar primeiro o maior ângulo" (UH Math 1330, section 7.3).

A lei dos senos: LAAo e ALA

Quando você conhece dois ângulos, o terceiro vem de graça: eles somam 180°. Depois disso, a lei dos senos é uma proporção direta.

Digamos que $A = 40^{\circ}$, $B = 60^{\circ}$ e $a = 10$. Então $C = 80^{\circ}$, e a razão comum é

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{10}{\sin 40^{\circ}} \approx 15.557$$

Multiplique-a por cada seno: $b \approx 15.557 \times \sin 60^{\circ} \approx 13.47$ e $c \approx 15.557 \times \sin 80^{\circ} \approx 15.32$.

Aqui não há nada ambíguo, porque todos os ângulos foram achados por subtração e não por arco seno. ALA funciona do mesmo jeito: subtraia para obter o terceiro ângulo, e então você tem um lado com seu ângulo oposto e a proporção faz o resto.

O caso ambíguo (LLA): um triângulo, três desfechos

LLA é onde os alunos perdem pontos. A OpenStax o descreve como o caso em que os dados LLA "podem resultar em uma ou duas soluções, ou até em nenhuma". A forma mais limpa de ver por quê é manter tudo fixo, menos um lado.

Fixe o ângulo $A = 30^{\circ}$ e o lado $b = 10$. Imagine o lado b deitado no chão, do vértice C ao vértice A, com o ângulo de 30° em A. O lado a pende de C e balança como um portão até pousar na reta que sai de A. Se ele pousa, e onde, depende só do seu comprimento.

O comprimento-chave é a altura de C até essa reta:

$$h = b \sin A = 10 \sin 30^{\circ} = 5$$

Agora mude só a. Cada linha da tabela foi calculada a partir de $\sin B = \dfrac{b \sin A}{a}$ e conferida com 12 algarismos significativos:

Desfechos de LLA com A = 30°, b = 10

Lado a	Comparado com h = 5 e b = 10	$\sin B$	Triângulos	Ângulo B	Ângulo C	Lado c
4	menor que h	1,25	0	nenhum	nenhum	nenhum
5	igual a h	1	1	90°	60°	8,66
8	entre h e b	0,625	2	38,68° ou 141,32°	111,32° ou 8,68°	14,91 ou 2,42
12	pelo menos b	0,4167	1	24,62°	125,38°	19,57

Leia linha por linha:

• a = 4. O portão é mais curto que a altura, então nunca alcança o chão. A álgebra diz o mesmo: $\sin B = 1.25$, e nenhum ângulo tem seno maior que 1. Nenhum triângulo.
• a = 5. O portão mal toca o chão, na vertical. Um triângulo, com ângulo reto em B.
• a = 8. O portão é mais longo que a altura e mais curto que b, então toca o chão em dois pontos, um de cada lado do pé da altura. Os dois são triângulos reais. O arco seno dá 38,68°; a outra resposta é o seu suplemento, $180^{\circ} - 38.68^{\circ} = 141.32^{\circ}$, e como $30^{\circ} + 141.32^{\circ} < 180^{\circ}$ sobra espaço para um terceiro ângulo. Saem um triângulo largo com c = 14,91 e um fino com c = 2,42.
• a = 12. O portão é mais longo que b, então o segundo ponto de pouso cairia atrás de A, fora do triângulo. O suplemento 155,38° mais 30° já passa de 180°, e por isso é descartado. Um triângulo.

Essas condições batem com as quatro figuras da seção da OpenStax: a menor que a altura não dá triângulo, a igual à altura dá um triângulo retângulo, a entre a altura e b dá dois, e a pelo menos igual a b dá um (para um ângulo A agudo).

A rotina para guardar: depois de qualquer arco seno em LLA, anote também o suplemento e teste se ele cabe com o ângulo dado. Se couber, há duas respostas, e o problema geralmente pede as duas. Se o próprio A for obtuso, a figura é mais simples: a precisa ser maior que b, ou não existe triângulo.

Erros comuns

Usar a lei dos senos em LAL ou LLL. Sem um par completo de lado e ângulo oposto, a proporção tem duas incógnitas. Comece pela lei dos cossenos.

Esquecer o segundo triângulo de LLA. A calculadora só devolve o arco seno agudo. Sempre teste o suplemento.

Achar um ângulo obtuso com arco seno. Em LAL e LLL, ache o maior ângulo com a lei dos cossenos, ou ache primeiro os ângulos menores com a lei dos senos.

Calculadora em modo radiano. $\cos 40$ em radianos vale cerca de $-0.667$, não $0.766$. Se um lado sair maior que a soma dos outros dois, confira o modo.

Arredondar cedo demais. Guarde a precisão total do lado que você acabou de achar antes de usá-lo no passo seguinte; as respostas acima foram levadas com precisão total e arredondadas só no fim.

Problemas de prática

Tente cada um antes de ler a resposta.

1. LAL. $b = 6$, $c = 9$, $A = 60^{\circ}$. Ache a.
2. LLL. Um triângulo tem lados 4, 6 e 8. Ache o seu maior ângulo.
3. LLA. $A = 40^{\circ}$, $b = 12$, $a = 9$. Quantos triângulos servem, e quais são os valores possíveis de c?

Respostas.

1. $a^{2} = 36 + 81 - 108\cos 60^{\circ} = 63$, portanto $a = \sqrt{63} \approx 7.94$.
2. O maior ângulo é o oposto a 8: $\cos C = \dfrac{16 + 36 - 64}{48} = -0.25$, portanto $C \approx 104.48^{\circ}$.
3. A altura é $12 \sin 40^{\circ} \approx 7.71$, e 9 está entre 7,71 e 12, então há dois triângulos. $\sin B \approx 0.8571$ dá $B \approx 58.99^{\circ}$ ou $121.01^{\circ}$, depois $C \approx 81.01^{\circ}$ ou $18.99^{\circ}$, e $c \approx 13.83$ ou $4.56$.

A prática de trigonometria do Math Zen inclui a lei dos senos e dos cossenos ao lado de razões trigonométricas, identidades e funções inversas, com números novos a cada tentativa, para que a escolha entre as duas leis se torne automática. O mesmo cosseno reaparece no produto escalar, que o guia de vetores explica como próximo passo natural.

Perguntas frequentes

Quando usar a lei dos senos e quando usar a lei dos cossenos?

Use a lei dos senos para LAAo, ALA e LLA. Use a lei dos cossenos para LAL e LLL, em que nenhum lado vem com o seu ângulo oposto.

A lei dos cossenos é a mesma coisa que o teorema de Pitágoras?

É a versão geral. Faça o ângulo valer 90° e o termo $-2ab\cos C$ desaparece, deixando $a^{2} + b^{2} = c^{2}$.

O que é o caso ambíguo da lei dos senos?

Dados LLA podem descrever zero, um ou dois triângulos. Compare o lado a com a altura $h = b \sin A$ e com o lado b para saber qual é o caso.

Por que achar o maior ângulo primeiro?

Um ângulo e o seu suplemento têm o mesmo seno, então um arco seno não distingue 84° de 96°. O maior ângulo é o único que pode ser obtuso; ache-o com a lei dos cossenos e os demais ficam seguros.