Sinusregel en cosinusregel: welke gebruik je wanneer

Een landmeter kent twee zijden van een perceel en de hoek ertussen, en heeft de derde zijde nodig. Een piloot kent twee hoeken van een driehoek met twee radiobakens en één afstand. Geen van beide driehoeken heeft een rechte hoek, dus SOH CAH TOA helpt niet. Dit zijn de taken van de sinusregel en de cosinusregel, de twee regels waarmee je elke driehoek oplost zodra je drie van zijn onderdelen kent (mits één ervan een zijde is).

Het lastige is zelden de formule. Het lastige is kiezen welke regel je gebruikt, en de ene situatie herkennen waarin een rekenmachine stilletjes een verkeerde hoek geeft. Deze gids begint met een keuzetabel, werkt een voorbeeld uit voor elk geval en laat daarna één driehoek alle uitkomsten van het dubbelzinnige geval doorlopen, door maar één zijde te veranderen. Als sinus en cosinus nog als knoppen voelen in plaats van als ideeën, bouwt de gids over goniometrie ze eerst opnieuw op.

Notatie in de hele tekst: hoeken A, B, C liggen tegenover de zijden a, b, c. In de afkortingen staat Z voor zijde en H voor hoek, net als bij de congruentiekenmerken (ZHZ, HZH, ZZZ).

Welke regel gebruik je: begin bij wat gegeven is

Elke oplosbare driehoeksopgave geeft drie onderdelen. Benoem het patroon en de regel volgt:

Gegeven, regel, eerst te vinden onbekende

Gegeven	Patroon	Te gebruiken regel	Eerst vinden
Twee hoeken en een zijde die er niet tussen ligt	HHZ	Sinusregel	Derde hoek (180° min de andere twee), daarna de zijden
Twee hoeken en de zijde ertussen	HZH	Sinusregel	Derde hoek, daarna de zijden
Twee zijden en een hoek die er niet tussen ligt	ZZH	Sinusregel, met zorg	De hoek tegenover de tweede bekende zijde; controleer op 0, 1 of 2 driehoeken
Twee zijden en de hoek ertussen	ZHZ	Cosinusregel	De derde zijde
Alle drie de zijden	ZZZ	Cosinusregel	De grootste hoek (tegenover de langste zijde)
Drie hoeken	HHH	Geen van beide	Geen eenduidig antwoord: gelijkvormige driehoeken van elke grootte passen

Deze verdeling volgt het precalculus-leerboek van OpenStax: de sinusregel dekt HZH, HHZ en ZZH, en de cosinusregel is het gereedschap voor de twee gevallen die de sinusregel niet aankan, ZHZ en ZZZ (OpenStax, sinusregel; OpenStax, cosinusregel).

De reden is aan de formules makkelijk te zien. De sinusregel vergelijkt elke zijde met de hoek tegenover die zijde:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$

Om hem te gebruiken heb je minstens één compleet paar nodig: een zijde samen met de hoek ertegenover. ZHZ en ZZZ geven nooit een compleet paar, dus om te beginnen heb je een andere regel nodig.

De cosinusregel: Pythagoras plus een correctie

De cosinusregel luidt in zijn drie vormen

$$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\cos A$$ $$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2ac\cos B$$ $$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab\cos C$$

Bekijk de laatste met $C = 90^{\circ}$. Dan is $\cos C = 0$, verdwijnt de laatste term en houd je $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ over. De cosinusregel is de stelling van Pythagoras met een correctieterm voor hoeken die niet recht zijn. OpenStax noemt de identiteit waarmee de regel begint "the Generalized Pythagorean Theorem" (de gegeneraliseerde stelling van Pythagoras). Het idee is oud: Stelling 12 en 13 in Boek II van Euclides' Elementen bewijzen het voor stomphoekige en scherphoekige driehoeken in zuiver meetkundige taal, lang voordat er cosinussen bestonden (Euclides II.12, uitgave van Clark University).

De correctie heeft een duidelijke betekenis. Als C scherp is, is $\cos C$ positief, dus c komt korter uit dan de waarde van Pythagoras. Als C stomp is, is $\cos C$ negatief en maakt het minteken van de correctie een optelling, dus c komt langer uit. Open je de hoek, dan rekt de overstaande zijde op; sluit je hem, dan krimpt ze.

Uitgewerkt voorbeeld met ZHZ

Twee zijden zijn $b = 8$ en $c = 11$, met de hoek ertussen $A = 40^{\circ}$. Bereken de rest.

Derde zijde. Vul in in de vorm die de bekende hoek bevat:

$$a^{2} = 8^{2} + 11^{2} - 2(8)(11)\cos 40^{\circ} = 185 - 134.82 = 50.18$$

dus $a \approx 7.08$. Ter vergelijking: een rechte hoek bij A had $\sqrt{185} \approx 13.60$ gegeven; de hoek van 40° halveert dat bijna.

Overige hoeken. Nu is er een compleet paar (a met A), dus de sinusregel werkt. Los op naar de hoek tegenover de kortste van de twee andere zijden, dat is b:

$$\sin B = \frac{8 \sin 40^{\circ}}{7.08} \approx 0.7260, \quad B \approx 46.55^{\circ}$$

Dan is $C = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 46.55^{\circ} = 93.45^{\circ}$.

Merk op dat C stomp is. Had je de sinusregel voor C gebruikt, dan had de arcsinus van de rekenmachine 86,55° gegeven, de scherpe hoek met dezelfde sinus, en elk volgend getal was fout geweest. Eerst de kleinere hoek bepalen voorkomt dit: in elke driehoek ligt de kleinere hoek tegenover de kortere zijde, en hooguit één hoek kan 90° of meer zijn, dus de hoek tegenover de kortere zijde is altijd scherp.

Dezelfde gegevens geven ook direct de oppervlakte, met de helft van twee zijden maal de sinus van hun ingesloten hoek (de oppervlakteformule uit het OpenStax-onderdeel over de sinusregel): $\tfrac{1}{2}(8)(11)\sin 40^{\circ} \approx 28.28$.

ZZZ: bereken eerst de grootste hoek

Als alle drie de zijden gegeven zijn, herschrijf je de cosinusregel zodat de cosinus vrijkomt:

$$\cos C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2ab}$$

Neem de driehoek met zijden 5, 7 en 9. De langste zijde is 9, dus begin met de hoek ertegenover:

$$\cos C = \frac{25 + 49 - 81}{2(5)(7)} = \frac{-7}{70} = -0.1, \quad C \approx 95.74^{\circ}$$

De negatieve cosinus vertelt meteen dat C stomp is. Nu is de sinusregel veilig voor de andere hoeken, want de twee overige hoeken moeten scherp zijn:

$$\sin A = \frac{5 \sin 95.74^{\circ}}{9} \approx 0.5528, \quad A \approx 33.56^{\circ}$$

en $B = 180^{\circ} - 95.74^{\circ} - 33.56^{\circ} = 50.70^{\circ}$. Een controle met de cosinusregel voor B geeft dezelfde 50,70°.

Doe je het in de andere volgorde, dan verschijnt de valkuil. Bereken eerst A en gebruik dan de sinusregel voor C: je krijgt $\sin C \approx 0.9950$, en de arcsinus zegt 84,26°. De echte hoek is het supplement, 95,74°. De cursusnotities van de University of Houston zeggen het ronduit: als je de keuze hebt, is het meestal het best om eerst de grootste hoek te vinden ("it is usually best to find the largest angle first") (UH Math 1330, sectie 7.3).

De sinusregel: HHZ en HZH

Als je twee hoeken kent, is de derde gratis: samen zijn ze 180°. Daarna is de sinusregel een rechttoe rechtaan verhouding.

Stel $A = 40^{\circ}$, $B = 60^{\circ}$ en $a = 10$. Dan is $C = 80^{\circ}$, en de gemeenschappelijke verhouding is

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{10}{\sin 40^{\circ}} \approx 15.557$$

Vermenigvuldig haar met elke sinus: $b \approx 15.557 \times \sin 60^{\circ} \approx 13.47$ en $c \approx 15.557 \times \sin 80^{\circ} \approx 15.32$.

Hier is niets dubbelzinnig, omdat elke hoek door aftrekken is gevonden, niet met een arcsinus. HZH werkt hetzelfde: trek af voor de derde hoek, dan heb je een zijde met de hoek ertegenover en doet de verhouding de rest.

Het dubbelzinnige geval (ZZH): één driehoek, drie uitkomsten

ZZH is waar leerlingen punten verliezen. OpenStax beschrijft het als het geval waarin ZZH-gegevens "may result in one or two solutions, or even no solution" (een of twee oplossingen kunnen opleveren, of zelfs geen). De duidelijkste manier om te zien waarom, is alles vast te houden behalve één zijde.

Leg de hoek $A = 30^{\circ}$ en de zijde $b = 10$ vast. Stel je zijde b voor op de grond, van hoekpunt C naar hoekpunt A, met de hoek van 30° bij A. Zijde a hangt aan C en zwaait als een poort tot ze landt op de lijn die uit A vertrekt. Of ze landt, en waar, hangt alleen af van haar lengte.

De sleutellengte is de hoogte van C naar die lijn:

$$h = b \sin A = 10 \sin 30^{\circ} = 5$$

Verander nu alleen a. Elke rij hieronder is berekend met $\sin B = \dfrac{b \sin A}{a}$ en gecontroleerd op 12 significante cijfers:

ZZH-uitkomsten voor A = 30°, b = 10

Zijde a	Vergeleken met h = 5 en b = 10	$\sin B$	Driehoeken	Hoek B	Hoek C	Zijde c
4	korter dan h	1,25	0	geen	geen	geen
5	gelijk aan h	1	1	90°	60°	8,66
8	tussen h en b	0,625	2	38,68° of 141,32°	111,32° of 8,68°	14,91 of 2,42
12	minstens b	0,4167	1	24,62°	125,38°	19,57

Lees het rij voor rij:

• a = 4. De poort is korter dan de hoogte, dus bereikt de grond nooit. De algebra zegt hetzelfde: $\sin B = 1.25$, en geen enkele hoek heeft een sinus boven 1. Geen driehoek.
• a = 5. De poort raakt de grond net, recht omlaag. Eén driehoek, met een rechte hoek bij B.
• a = 8. De poort is langer dan de hoogte maar korter dan b, dus ze raakt de grond op twee plekken, één aan elke kant van het voetpunt van de hoogte. Beide zijn echte driehoeken. De arcsinus geeft 38,68°; het andere antwoord is zijn supplement, $180^{\circ} - 38.68^{\circ} = 141.32^{\circ}$, en omdat $30^{\circ} + 141.32^{\circ} < 180^{\circ}$ blijft er ruimte voor een derde hoek. Je krijgt een brede driehoek met c = 14,91 en een smalle met c = 2,42.
• a = 12. De poort is langer dan b, dus haar tweede landingspunt zou achter A vallen, buiten de driehoek. Het supplement 155,38° plus 30° komt al boven 180°, dus het wordt verworpen. Eén driehoek.

Deze voorwaarden komen overeen met de vier plaatjes in het OpenStax-onderdeel: a korter dan de hoogte geeft geen driehoek, a gelijk aan de hoogte een rechthoekige driehoek, a tussen de hoogte en b geeft er twee, en a minstens zo lang als b geeft er één (voor een scherpe hoek A).

De routine om te onthouden: schrijf na elke ZZH-arcsinus ook het supplement op en toets of het past bij de gegeven hoek. Zo ja, dan zijn er twee antwoorden, en de opgave vraagt meestal om beide. Is A zelf stomp, dan is het plaatje simpeler: a moet langer zijn dan b, anders is er helemaal geen driehoek.

Veelgemaakte fouten

De sinusregel gebruiken bij ZHZ of ZZZ. Zonder een compleet paar van zijde en overstaande hoek heeft de verhouding twee onbekenden. Begin met de cosinusregel.

De tweede ZZH-driehoek vergeten. De rekenmachine geeft alleen de scherpe arcsinus. Toets altijd ook het supplement.

Een stompe hoek berekenen met de arcsinus. Bereken bij ZHZ en ZZZ de grootste hoek met de cosinusregel, of bereken eerst de kleinere hoeken met de sinusregel.

Rekenmachine in radialen. $\cos 40$ in radialen is ongeveer $-0.667$, niet $0.766$. Komt een zijde langer uit dan de som van de andere twee, controleer dan de stand.

Te vroeg afronden. Houd voor de zijde die je vond de volle nauwkeurigheid aan voordat je haar in de volgende stap gebruikt; de antwoorden hierboven zijn met volle nauwkeurigheid berekend en pas aan het eind afgerond.

Oefenopgaven

Probeer elke opgave voordat je het antwoord leest.

1. ZHZ. $b = 6$, $c = 9$, $A = 60^{\circ}$. Bereken a.
2. ZZZ. Een driehoek heeft zijden 4, 6 en 8. Bereken de grootste hoek.
3. ZZH. $A = 40^{\circ}$, $b = 12$, $a = 9$. Hoeveel driehoeken passen, en wat zijn de mogelijke waarden van c?

Antwoorden.

1. $a^{2} = 36 + 81 - 108\cos 60^{\circ} = 63$, dus $a = \sqrt{63} \approx 7.94$.
2. De grootste hoek ligt tegenover 8: $\cos C = \dfrac{16 + 36 - 64}{48} = -0.25$, dus $C \approx 104.48^{\circ}$.
3. De hoogte is $12 \sin 40^{\circ} \approx 7.71$, en 9 ligt tussen 7,71 en 12, dus twee driehoeken. $\sin B \approx 0.8571$ geeft $B \approx 58.99^{\circ}$ of $121.01^{\circ}$, dan $C \approx 81.01^{\circ}$ of $18.99^{\circ}$, en $c \approx 13.83$ of $4.56$.

De goniometrie-oefeningen van Math Zen bevatten de sinusregel en de cosinusregel naast goniometrische verhoudingen, identiteiten en inverse functies, met bij elke poging nieuwe getallen, zodat de keuze tussen de twee regels vanzelf gaat. Dezelfde cosinus keert terug in het inproduct, dat de gids over vectoren uitlegt als een logische volgende stap.

Veelgestelde vragen

Wanneer gebruik je de sinusregel en wanneer de cosinusregel?

Gebruik de sinusregel voor HHZ, HZH en ZZH. Gebruik de cosinusregel voor ZHZ en ZZZ, waar geen enkele zijde samen met de hoek ertegenover gegeven is.

Is de cosinusregel hetzelfde als de stelling van Pythagoras?

Het is de algemene versie. Zet de hoek op 90° en de term $-2ab\cos C$ valt weg, waardoor $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ overblijft.

Wat is het dubbelzinnige geval van de sinusregel?

ZZH-gegevens kunnen nul, een of twee driehoeken beschrijven. Vergelijk zijde a met de hoogte $h = b \sin A$ en met zijde b om te zien welk geval het is.

Waarom moet ik eerst de grootste hoek bepalen?

Een hoek en zijn supplement hebben dezelfde sinus, dus een arcsinus kan 84° niet van 96° onderscheiden. De grootste hoek is de enige die stomp kan zijn; bereken die met de cosinusregel en de rest is veilig.