Oneigenlijke integralen: convergentie en uitgewerkte voorbeelden

Een integraal kan een bekende primitieve hebben en toch geen eindige waarde. De ontbrekende stap is een limiet. Als het interval oneindig doorloopt, of als de functie bij een eindpunt of ergens binnen het interval onbegrensd wordt, kun je niet zomaar de afgedrukte grenzen in de primitieve invullen. Vervang eerst de problematische grens door een gewone variabele. Vraag daarna wat er gebeurt wanneer die variabele de grens nadert.

Dat maakt de integraal oneigenlijk. De naam beschrijft de opgave, niet de uitkomst. Sommige oneigenlijke integralen convergeren naar een eindig getal; andere divergeren. In deze gids staan voorbeelden naast elkaar, zodat je ziet welke stap het verschil maakt. Is de normale notatie van een bepaalde integraal nog nieuw, lees dan eerst onze uitleg van integralen. De gids over limieten behandelt de bewerking die elk voorbeeld hieronder beslist.

Bepaal eerst waarom de integraal oneigenlijk is

Er zijn twee veelvoorkomende situaties. Een oneindig interval heeft een grens als $+\infty$ of $-\infty$. Een onbegrensde integrand heeft een punt waar de functiewaarde zonder grens groeit, ook als de geschreven grenzen eindig zijn. Dat punt kan een eindpunt zijn of binnen het interval liggen.

OpenStax Calculus, deel 2, §3.7 definieert beide situaties met limieten. Dat onderscheid is belangrijk: $\infty$ behandelen alsof het een getal is, of in één keer over een interne singulariteit heen rekenen, kan een aannemelijk maar fout antwoord geven.

Een eindige limiet betekent convergentie. Groeit de uitdrukking onbeperkt of komt zij om een andere reden niet op een eindige waarde uit, dan is er divergentie. Dezelfde primitieve kan in beide soorten antwoorden voorkomen. Haar vinden is dus slechts een deel van de oplossing.

Vier stappen die je opnieuw kunt gebruiken

1. Zoek alle verdachte grenzen. Denk aan een oneindig uiteinde, een nul in de noemer, een logaritme buiten zijn domein of een ander punt waar de functie onbegrensd is. Bij een singulariteit binnen het interval moet je het interval splitsen voordat je integreert.

2. Vervang één verdachte grens door een eindige variabele. Schrijf de gewone integraal die daardoor ontstaat. Vervang bijvoorbeeld $\int_1^{\infty} f(x)\,dx$ door $\int_1^R f(x)\,dx$ met eindige $R>1$.

3. Bereken de gewone integraal. Een primitieve is hier nuttig. Controleer het domein en de tekens voordat je de eindige grenzen invult. Kun je niet direct integreren, dan kan een vergelijking toch beslissen of de integraal convergeert.

4. Neem de limiet en noem het oordeel. Lever niet alleen de uitdrukking voor een eindige $R$ of $\varepsilon$ in. Schrijf de limiet op en zeg convergent of divergent. Is er een interne singulariteit, doe dit dan onafhankelijk aan weerszijden.

Deze volgorde maakt je werk controleerbaar. Een lezer ziet of de juiste grens is onderzocht en of het eindgetal werkelijk een limiet is.

Naar oneindig: één eindige en één oneindige oppervlakte

Begin met een convergent voorbeeld:

$$\int_1^{\infty}\frac{1}{x^2}\,dx =\lim_{R\to\infty}\int_1^R x^{-2}\,dx =\lim_{R\to\infty}\left[-\frac1x\right]_1^R =\lim_{R\to\infty}\left(1-\frac1R\right)=1.$$

Het interval houdt nooit op, maar de toegevoegde oppervlakte wordt zo klein dat het totaal naar 1 nadert. Verander nu alleen de macht in de noemer:

$$\int_1^{\infty}\frac1x\,dx =\lim_{R\to\infty}\int_1^R\frac1x\,dx =\lim_{R\to\infty}[\ln x]_1^R =\lim_{R\to\infty}\ln R=+\infty.$$

Deze integraal divergeert. Dat $1/x$ naar nul gaat, maakt de opgetelde oppervlakte niet automatisch eindig. De functie daalt te langzaam. De vergelijking laat de kern zien: beide integranden naderen nul en hebben eenvoudige primitieve functies, maar slechts één heeft een eindige limiet als integraal.

Voor $\int_1^{\infty}x^{-p}\,dx$ ligt de grens bij $p=1$. De integraal convergeert als $p>1$ en divergeert als $p\le1$. Die regel volgt uit de limietberekening, inclusief het logaritmische geval $p=1$. Weet je niet zeker of de exponent of het interval aan de voorwaarden voldoet, schrijf de onderliggende limiet dan uit.

Bij een eindpunt: hetzelfde grensprobleem vanaf de andere kant

Een integraal kan oneigenlijk zijn terwijl beide geschreven grenzen eindig zijn. Bij $x=0$ is $x^{-1/2}$ onbegrensd. Vervang de ondergrens door $\varepsilon>0$:

$$\int_0^1\frac1{\sqrt{x}}\,dx =\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{\varepsilon}^1 x^{-1/2}\,dx =\lim_{\varepsilon\to0^+}[2\sqrt{x}]_{\varepsilon}^1 =\lim_{\varepsilon\to0^+}2(1-\sqrt{\varepsilon})=2.$$

De functie wordt onbegrensd bij het eindpunt, maar de integraal convergeert. Vergelijk $1/x$ op hetzelfde interval:

$$\int_0^1\frac1x\,dx =\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{\varepsilon}^1\frac1x\,dx =\lim_{\varepsilon\to0^+}(0-\ln\varepsilon)=+\infty.$$

Deze divergeert. Vul geen nul in bij $\ln x$, want $\ln0$ is niet gedefinieerd. De limiet is de echte wiskundige vraag. Het paar bij een eindpunt weerspiegelt het paar bij oneindig: een singulariteit op zichzelf bepaalt geen convergentie, en een primitieve op zichzelf evenmin.

Midden in het interval: niet door een gat heen wegstrepen

De gevaarlijkste kortere route verschijnt als een singulariteit tussen twee gewoon ogende grenzen ligt. Neem

$$\int_{-1}^{1}\frac1x\,dx.$$

De primitieve $\ln|x|$ heeft bij $-1$ en $1$ dezelfde waarde. Nul opschrijven lijkt verleidelijk. Maar die stap kruist $x=0$, waar $1/x$ niet gedefinieerd is. De hoofdstelling staat geen enkele aftrekking over die onderbreking toe. Onderzoek daarom beide kanten apart voordat je de hele uitdrukking een waarde geeft:

$$\int_{-1}^{0}\frac1x\,dx\qquad\text{en}\qquad\int_0^1\frac1x\,dx.$$

Elke kant heeft zijn eigen limiet nodig. Links geldt met $\varepsilon>0$ dat $\int_{-1}^{-\varepsilon}1/x\,dx=\ln\varepsilon\to-\infty$. Rechts geldt $\int_{\varepsilon}^{1}1/x\,dx=-\ln\varepsilon\to+\infty$. Geen van beide kanten convergeert naar een eindige waarde. Daarom divergeert de oorspronkelijke oneigenlijke integraal.

Een symmetrische afsnijding kan voor elke positieve $\varepsilon$ nul opleveren, maar dat is een andere constructie: de hoofdwaarde van Cauchy. Daarbij worden twee divergerende zijden gekoppeld zodat ze elkaar opheffen. Dat is niet de waarde van de gewone oneigenlijke integraal. Het werkblad van de University of South Carolina stelt de aparte beoordeling van beide zijden bij een interne singulariteit expliciet vast.

Als de primitieve lastig is, vergelijk

Niet elke oneigenlijke integraal heeft een primitieve die je graag berekent. Voor een nietnegatieve integrand kun je de grootte vergelijken met die van een functie waarvan het gedrag bekend is. Voor $x\ge1$ geldt bijvoorbeeld

$$0<\frac1{x^2+1}\le\frac1{x^2}.$$

Omdat $\int_1^{\infty}1/x^2\,dx$ convergeert, convergeert de kleinere nietnegatieve integraal $\int_1^{\infty}1/(x^2+1)\,dx$ ook. Dit bewijst convergentie zonder de precieze waarde te vinden. De vergelijkingstelling van OpenStax, §3.7 geeft de voorwaarden. De richting van de ongelijkheid telt: onder een divergente functie liggen vertelt je op zichzelf niets, terwijl een nietnegatieve functie onder een convergente functie de convergentie overneemt.

Controleer het antwoord voor je het inlevert

Noem eerst de verdachte grens en bekijk de laatste regel. Alleen een primitieve, $\infty$ als ingevuld getal, of een ongedefinieerde $\ln0$ is geen afgeronde oplossing. Bij een interne singulariteit moeten beide eenzijdige limieten eindig zijn. Symmetrische opheffing is geen vervanging.

Doe twee korte controles. Convergeert $\int_2^{\infty}1/x^2\,dx$? Dezelfde berekening geeft $1/2$. Convergeert $\int_0^1x^{-2}\,dx$? De limiet bij het eindpunt groeit onbeperkt, dus dit divergeert. Hoewel dezelfde macht voorkomt, zijn de grenzen en oordelen verschillend. Als een antwoord je verbaast, schrijf de versie met een eindige grens en laat de limiet verklaren waarom.

De limietengids van Math Zen helpt bij de laatste stap. De gids over de regel van l'Hôpital bespreekt een hulpmiddel voor geschikte limietvormen, maar vervangt het herkennen en splitsen van de oneigenlijke grens niet. Zodra je de problematische punten en de juiste eenzijdige limieten hebt opgeschreven, wordt de rest weer gewone integraalrekening.