절댓값 방정식: 거리로 생각해 푸는 방법

$|x|$를 감싼 두 세로선은 외워야 할 또 하나의 지시처럼 보일 때가 많습니다. 대신 하나의 질문으로 읽어 보세요. 이 수는 0에서 얼마나 떨어져 있는가?

5는 0에서 다섯 칸 떨어져 있습니다. -5도 반대 방향에 있을 뿐 0에서 다섯 칸 떨어져 있습니다. 그래서 $|5| = 5$이고 $|-5| = 5$입니다. 절댓값은 거리를 남기고 방향을 없앱니다.

이 그림이 선명해지면 절댓값 방정식을 푸는 일은 정해진 거리만큼 떨어진 위치를 찾는 일이 됩니다. 익숙한 두 경우는 대수에 덧붙인 요령이 아니라 수직선에서 자연스럽게 나옵니다.

거리는 0일 수 있지만 음수일 수는 없다

절댓값은 음이 아닌 결과를 줍니다. 여기서 “음이 아닌”이라는 표현이 중요합니다. 0도 허용되므로 절댓값은 언제나 수를 양수로 만든다는 설명은 조금 부정확합니다.

실수 $x$의 정의는 다음과 같습니다.

$$|x| = \begin{cases}x & x \geq 0 \\ -x & x < 0\end{cases}$$

둘째 줄은 답이 음수라는 뜻이 아닙니다. $x = -7$이면 $-x = -(-7) = 7$입니다. 마이너스 기호가 이미 음수인 수의 방향을 뒤집습니다. 이 반전에 대해서는 음수 가이드에서 더 자세히 설명합니다.

절댓값을 적용하기 전에 기호 안의 식부터 계산하세요.

$$|3 - 8| = |-5| = 5$$

일반적으로 뺄셈의 각 항에 절댓값 기호를 분배할 수는 없습니다. 여기서 $|3| - |8| = -5$가 되어 원래 식과 다릅니다. 두 세로선은 하나의 완전한 식을 감싸며, 그 식 전체의 값이 거리가 됩니다.

답이 두 개 나타나는 이유

다음을 생각해 봅시다.

$$|x| = 6$$

0에서 여섯 단위 떨어진 점은 어디일까요? $x = 6$과 $x = -6$, 두 곳입니다. 둘 다 방정식을 만족하며 어느 하나가 더 옳은 것은 아닙니다.

이제 기준점을 옮겨 봅시다.

$$|x - 4| = 6$$

식 $x - 4$는 $x$와 4 사이의 부호 있는 차이를 나타냅니다. 여기에 절댓값을 취하면 두 점 사이의 거리가 됩니다. 4에서 오른쪽으로 여섯 단위 또는 왼쪽으로 여섯 단위 이동합니다.

$$x = 4 + 6 = 10 \quad \text{또는} \quad x = 4 - 6 = -2$$

직접 확인하면 $|10 - 4| = 6$이고 $|-2 - 4| = 6$입니다.

기준점이 양수일 필요는 없습니다. $|x + 3| = 2$에서는 안쪽을 머릿속으로 $x - (-3)$이라고 바꾸어 읽으세요. 중심은 -3이므로 해는 -1과 -5입니다.

경우를 나누기 전에 절댓값을 고립하라

양의 상수 $c$에 대한 기본 규칙은 다음과 같습니다.

$$|A| = c \quad \Longleftrightarrow \quad A = c \;\text{또는}\; A = -c$$

여기서 $A$는 절댓값 기호 안의 식 전체를 뜻합니다. 이 규칙을 쓰기 전에 일반적인 대수에서처럼 등식의 균형을 유지하는 연산으로 절댓값을 고립하세요.

다음 예제를 풉니다.

$$3|2x - 1| + 4 = 25$$

4를 뺍니다.

$$3|2x - 1| = 21$$

3으로 나눕니다.

$$|2x - 1| = 7$$

이제 두 방정식으로 나눕니다.

$$2x - 1 = 7 \quad \text{또는} \quad 2x - 1 = -7$$

첫째 식에서는 $2x = 8$이므로 $x = 4$입니다. 둘째 식에서는 $2x = -6$이므로 $x = -3$입니다.

원래 방정식에 대입해 확인하면 $3|8 - 1| + 4 = 25$와 $3|-6 - 1| + 4 = 25$가 됩니다. 둘 다 성립합니다.

원래 방정식의 25를 단순히 -25로 바꾸어 나누면 안 됩니다. 절댓값 규칙은 고립된 거리의 부호를 바꾸는 것이지 문제의 모든 항의 부호를 바꾸는 것이 아닙니다. Paul's Online Math Notes도 이 방정식들을 다루면서 절댓값의 고립과 검산을 강조합니다.

대수를 더 진행하기 전에 해가 없는지 확인하라

다음 방정식을 생각해 봅시다.

$$2|x + 1| + 5 = 1$$

5를 빼고 2로 나누면 다음과 같습니다.

$$|x + 1| = -2$$

여기서 멈추세요. 어떤 실수도 음수 2만큼 떨어져 있을 수 없습니다. $x + 1 = -2$와 $x + 1 = 2$로 나누면 다른 질문에 대한 답을 만들어 내게 됩니다.

0은 별개의 경우입니다.

$$|3x - 9| = 0$$

안쪽이 0이어야 하므로 $3x - 9 = 0$이고 $x = 3$입니다. 양의 0과 음의 0을 쓰면 같은 답을 두 번 얻을 뿐입니다.

고립된 절댓값 안에 상수가 아닌 일차식이 있을 때, 오른쪽의 상수가 양수이면 해가 두 개, 0이면 하나, 음수이면 없습니다. 이 간단한 판단을 모든 절댓값 방정식에 적용하면 안 됩니다. 안쪽이 이차식일 수도 있고 오른쪽에 변수가 있을 수도 있습니다.

오른쪽에 변수가 있으면 부호를 확인하라

이제 다음을 풉니다.

$$|x - 2| = 2x + 1$$

왼쪽은 음수가 될 수 없으므로 해는 $2x + 1 \geq 0$, 즉 $x \geq -\frac{1}{2}$을 만족해야 합니다.

두 후보 방정식을 사용합니다.

$$x - 2 = 2x + 1 \quad \text{또는} \quad x - 2 = -(2x + 1)$$

첫째 식에서는 $x = -3$을 얻지만 부호 제한을 만족하지 않습니다. 원래 방정식에 대입하면 문제가 드러납니다. 왼쪽은 5이고 오른쪽은 -5입니다.

둘째 식에서는 $3x = 1$이므로 $x = \frac{1}{3}$입니다. 대입하면 양변이 모두 $\frac{5}{3}$입니다. 이것이 유일한 해입니다.

어떤 연산이 원래 방정식을 만족하지 않는 후보를 만들 수 있을 때 검산은 특히 유용합니다. 양변을 제곱해도 그런 후보가 생길 수 있습니다. 제곱은 오른쪽이 양수인지 음수인지의 차이를 지우기 때문입니다.

두 절댓값은 두 거리를 비교한다

양변에 절댓값 기호가 있는 방정식도 간단할 수 있습니다.

$$|x - 1| = |x + 5|$$

이 식은 1과 -5에서 같은 거리만큼 떨어진 점을 묻습니다. 수직선에서 그 점은 두 수의 중점인 $x = -2$입니다.

대수로도 같은 답을 얻습니다. 두 절댓값이 같다는 것은 안쪽의 식들이 같거나 서로 반대라는 뜻입니다.

$$x - 1 = x + 5 \quad \text{또는} \quad x - 1 = -(x + 5)$$

첫째 방정식은 $-1 = 5$가 되므로 해가 없습니다. 둘째 방정식은 $2x = -4$가 되어 $x = -2$를 줍니다. 각 기준점까지의 거리는 3입니다.

이는 $|x - 1| + |x + 5| = 10$처럼 합을 포함한 방정식과 다릅니다. 한 번만 두 경우로 나누어 모든 절댓값 기호를 없앨 수는 없습니다. 이런 문제는 보통 각 내부 식의 부호가 바뀌는 지점을 기준으로 구간을 나누어야 합니다.

그래프를 보면 해의 개수가 보인다

$y = |x|$의 그래프는 V자 모양입니다. 0의 오른쪽에서는 $y = x$를 따르고 왼쪽에서는 $y = -x$를 따릅니다. V자의 뾰족한 점을 꼭짓점이라고 합니다.

$y = |x - 4|$에서는 꼭짓점이 $(4, 0)$으로 이동합니다. $|x - 4| = 6$을 푼다는 것은 이 V자와 수평선 $y = 6$이 만나는 곳을 찾는 일입니다. 교점은 $x = -2$와 $x = 10$, 두 개입니다.

0에 놓인 수평선은 꼭짓점에 한 번 닿습니다. 0 아래의 수평선은 그래프와 전혀 만나지 않습니다. 해가 두 개, 한 개 또는 0개인 형태가 종이 위에 그대로 그려집니다.

등식을 부등식으로 바꾸면 교점만이 아니라 영역을 묻게 됩니다. 예를 들어 $|x - 4| < 6$은 4로부터의 거리가 6보다 작다는 뜻이므로 $-2 < x < 10$입니다. 부등식 가이드에서 이 다음 단계를 자세히 설명합니다.

짧은 풀이 순서

먼저 절댓값 기호 안의 수로만 된 부분을 계산합니다. 그다음 하나의 절댓값을 고립하고 반대쪽의 부호를 살핀 뒤, 그 부호가 허용할 때만 두 경우로 나눕니다. 각 경우를 풀고 모든 후보를 원래 방정식에 대입합니다.

절댓값을 포함하는 Math Zen의 대수 토픽에서 이 과정을 연습해 보세요. 두 경우 규칙을 꺼내기 전에 거리 그림부터 떠올리세요. 기준점이 어디인지, 방정식이 어떤 거리를 요구하는지 설명할 수 있다면 대수가 해야 할 일도 분명해집니다.