Équations avec valeur absolue : les résoudre en pensant en distances

Les deux barres de $|x|$ ressemblent souvent à une consigne de plus à mémoriser. Lisez-les plutôt comme une question : à quelle distance ce nombre se trouve-t-il de zéro ?

Cinq se trouve à cinq unités de zéro. Moins cinq aussi, simplement dans l’autre sens. Voilà pourquoi $|5| = 5$ et $|-5| = 5$. La valeur absolue conserve la distance et supprime la direction.

Une fois cette image claire, résoudre une équation avec valeur absolue revient à chercher des positions situées à une distance donnée. Les deux cas habituels découlent de la droite numérique. Ce n’est pas une astuce ajoutée à l’algèbre.

Une distance peut être nulle, mais jamais négative

La valeur absolue donne un résultat positif ou nul. « Positif ou nul » a son importance : zéro est permis, donc dire qu’elle rend toujours un nombre positif est légèrement inexact.

Pour un nombre réel $x$, la définition est :

$$|x| = \begin{cases}x & x \geq 0 \\ -x & x < 0\end{cases}$$

La seconde ligne ne dit pas que le résultat est négatif. Si $x = -7$, alors $-x = -(-7) = 7$. Le signe moins inverse la direction d’un nombre déjà négatif. Notre guide des nombres négatifs explique ce renversement plus en détail.

Calculez l’expression à l’intérieur des barres avant d’appliquer la valeur absolue :

$$|3 - 8| = |-5| = 5$$

On ne peut généralement pas distribuer les barres sur une soustraction. Ici, $|3| - |8| = -5$, ce qui est différent. Les barres entourent une expression complète, et c’est la valeur de cette expression qui devient une distance.

Pourquoi deux réponses apparaissent

Considérons :

$$|x| = 6$$

Quels points se trouvent à six unités de zéro ? Il y en a deux : $x = 6$ et $x = -6$. Tous deux vérifient l’équation, et aucun n’est plus juste que l’autre.

Déplaçons maintenant le point de référence :

$$|x - 4| = 6$$

L’expression $x - 4$ mesure l’écart signé entre $x$ et 4. Sa valeur absolue donne la distance entre ces deux points. En partant de 4, déplacez-vous de six unités vers la droite ou vers la gauche :

$$x = 4 + 6 = 10 \quad \text{ou} \quad x = 4 - 6 = -2$$

Vérifiez directement les deux réponses : $|10 - 4| = 6$ et $|-2 - 4| = 6$.

Le point de référence n’a pas besoin d’être positif. Dans $|x + 3| = 2$, réécrivez mentalement l’intérieur comme $x - (-3)$. Le centre est -3, donc les solutions sont -1 et -5.

Isolez les barres avant de séparer les cas

La règle de base pour une constante positive $c$ est :

$$|A| = c \quad \Longleftrightarrow \quad A = c \;\text{ou}\; A = -c$$

Ici, $A$ représente toute l’expression située à l’intérieur des barres. Avant d’appliquer la règle, isolez cette valeur absolue à l’aide des mêmes opérations qui préservent l’équilibre en algèbre ordinaire.

Résolvons cet exemple :

$$3|2x - 1| + 4 = 25$$

Soustrayez 4 :

$$3|2x - 1| = 21$$

Divisez par 3 :

$$|2x - 1| = 7$$

Séparez maintenant en deux équations :

$$2x - 1 = 7 \quad \text{ou} \quad 2x - 1 = -7$$

La première donne $2x = 8$, donc $x = 4$. La seconde donne $2x = -6$, donc $x = -3$.

La vérification dans l’équation d’origine donne $3|8 - 1| + 4 = 25$ et $3|-6 - 1| + 4 = 25$. Les deux conviennent.

Ne séparez pas l’équation d’origine en remplaçant simplement 25 par -25. La règle de la valeur absolue change le signe de la distance isolée, pas celui de chaque terme du problème. Paul's Online Math Notes insiste également sur l’isolement et la vérification dans son traitement de ces équations.

Vérifiez d’abord s’il n’y a aucune solution

Supposons que l’équation soit :

$$2|x + 1| + 5 = 1$$

En soustrayant 5 puis en divisant par 2, on obtient :

$$|x + 1| = -2$$

Arrêtez-vous. Aucun nombre réel ne se trouve à une distance de moins deux. Séparer en $x + 1 = -2$ et $x + 1 = 2$ fabriquerait des réponses à une autre question.

Zéro constitue un cas distinct :

$$|3x - 9| = 0$$

L’intérieur doit être nul, donc $3x - 9 = 0$ et $x = 3$. Écrire zéro positif et zéro négatif donne deux fois la même réponse.

Pour la valeur absolue isolée d’une expression linéaire non constante, une constante positive donne deux solutions, zéro en donne une et une constante négative n’en donne aucune. N’étendez pas ce raccourci à toutes les équations possibles : l’intérieur peut être du second degré, ou le membre de droite peut contenir une variable.

Une variable à droite exige de vérifier le signe

Résolvons maintenant :

$$|x - 2| = 2x + 1$$

Le membre de gauche ne peut pas être négatif. Une solution doit donc vérifier $2x + 1 \geq 0$, soit $x \geq -\frac{1}{2}$.

Utilisez les deux équations candidates :

$$x - 2 = 2x + 1 \quad \text{ou} \quad x - 2 = -(2x + 1)$$

La première donne $x = -3$. Cette valeur ne respecte pas la condition de signe. La vérification dans l’équation d’origine révèle le problème : le membre de gauche vaut 5, tandis que celui de droite vaut -5.

La seconde donne $3x = 1$, donc $x = \frac{1}{3}$. Par substitution, les deux membres valent $\frac{5}{3}$. C’est l’unique solution.

La vérification est particulièrement utile lorsqu’une opération peut introduire des valeurs candidates qui ne vérifient pas l’équation d’origine. Élever les deux membres au carré peut aussi le faire : cette opération efface la différence entre un membre de droite positif et négatif.

Deux valeurs absolues comparent deux distances

Une équation avec des barres des deux côtés peut rester simple :

$$|x - 1| = |x + 5|$$

Elle demande le point situé à la même distance de 1 et de -5. Sur la droite numérique, ce point est leur milieu, $x = -2$.

L’algèbre mène à la même réponse. Deux valeurs absolues égales signifient que leurs contenus sont égaux ou opposés :

$$x - 1 = x + 5 \quad \text{ou} \quad x - 1 = -(x + 5)$$

La première équation se réduit à $-1 = 5$ et n’a donc aucune solution. La seconde devient $2x = -4$, ce qui donne $x = -2$. Sa distance à chacun des points de référence est 3.

Ce cas diffère d’une équation contenant une somme comme $|x - 1| + |x + 5| = 10$. On ne peut pas supprimer toutes les barres avec une seule séparation en deux cas. Ces problèmes nécessitent généralement des intervalles déterminés par les endroits où chaque expression intérieure change de signe.

Le graphique rend visible le nombre de solutions

Le graphique de $y = |x|$ forme un V. À droite de zéro, il suit $y = x$. À gauche, il suit $y = -x$. La pointe du V est le sommet.

Pour $y = |x - 4|$, le sommet se déplace en $(4, 0)$. Résoudre $|x - 4| = 6$ consiste à trouver où ce V rencontre la droite horizontale $y = 6$. Il y a deux intersections, en $x = -2$ et $x = 10$.

Une droite horizontale à zéro touche une fois le sommet. Une droite horizontale située sous zéro ne rencontre jamais le graphique. Voilà le schéma à deux, une ou aucune solution tracé sur la page.

Remplacer l’égalité par une inégalité revient à chercher une région plutôt que de simples points d’intersection. Par exemple, $|x - 4| < 6$ signifie que la distance à 4 est inférieure à 6, donc $-2 < x < 10$. Notre guide des inéquations développe cette étape suivante.

Une courte méthode de résolution

Commencez par calculer tout ce qui est numérique à l’intérieur des barres. Isolez ensuite une valeur absolue, examinez le signe de l’autre membre et ne séparez les cas que si ce signe le permet. Résolvez chaque cas, puis remplacez chaque valeur candidate dans l’équation d’origine.

Entraînez-vous avec le thème Algèbre de Math Zen, qui comprend la valeur absolue. Commencez par l’image de la distance avant d’appliquer la règle des deux cas. Si vous savez expliquer où se trouve le point de référence et quelle distance l’équation impose, l’algèbre a une tâche claire à accomplir.