La pendiente de forma intuitiva: Δy/Δx, la fórmula de la pendiente y la ecuación y = mx + b

Una señal en una carretera de montaña indica una pendiente del 8 %. El número describe el tramo que tienes por delante: por cada 100 metros de distancia horizontal, la carretera sube o baja 8 metros, según el sentido en que conduzcas. Si reduces la distancia a un solo metro, el cambio es de 0,08 metros.

Ese 0,08 es una pendiente. Mide cuánto cambia una magnitud (la altura) por cada paso de una unidad en otra (la distancia horizontal). En una gráfica, las magnitudes son $y$ y $x$, y la pregunta es la misma: cuando $x$ avanza un paso hacia la derecha, ¿cuánto se mueve $y$, y en qué sentido?

El cociente entre el cambio vertical y el horizontal, la fórmula de la pendiente, $y = mx + b$ y la ecuación punto-pendiente son cuatro formas de escribir esa misma respuesta.

La pendiente es una tasa de variación, no una forma

La pendiente parece una inclinación, pero es un número, y ese número es una tasa de variación.

La definición clásica es el cociente entre el cambio vertical y el cambio horizontal, Δy/Δx. Entre dos puntos de una recta, Δy es el cambio vertical (en $y$) y Δx es el cambio horizontal (en $x$):

$$\text{pendiente} = \frac{\text{cambio vertical}}{\text{cambio horizontal}}$$

Dividir entre Δx convierte un cambio bruto en un cambio por paso: un Δy de 6 con un Δx de 3 da la misma pendiente que 2 sobre 1, porque en ambos casos $y$ sube 2 por cada unidad de $x$. En los libros de texto, este número se llama $m$.

Como la pendiente divide una magnitud entre otra, tiene unidades: euros por gigabyte en una factura de móvil, metros por segundo (una velocidad) en distancia entre tiempo. Un «por» en un problema suele señalar una pendiente.

El signo de la pendiente indica el sentido: con pendiente positiva, la recta sube al leerla de izquierda a derecha; con pendiente negativa, baja. La carretera del 8 % tiene pendiente 0,08 para quien sube y $-0.08$ para quien baja. Su valor absoluto indica la inclinación: una pendiente de 5 es más pronunciada que una de 2, y $-5$ es más pronunciada que $-2$, aunque $-5$ sea el número menor.

La imagen puede engañar. Si estiras el eje y, cualquier recta inclinada parece más pronunciada, pero ninguna pendiente cambia, porque la pendiente se mide en las unidades de los ejes, no como un ángulo sobre el papel.

Cómo calcular la pendiente a partir de dos puntos

Cómo calcular la pendiente depende de los datos que tengas. A partir de dos puntos, resta las coordenadas y para obtener Δy y las coordenadas x para obtener Δx. Esa es la fórmula de la pendiente:

$$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

Toma $(2, 3)$ y $(6, 11)$ como punto 1 y punto 2:

$$m = \frac{11 - 3}{6 - 2} = \frac{8}{4} = 2$$

Lee el resultado como una tasa. De $x = 2$ a $x = 6$ hay cuatro pasos, y a razón de 2 por paso, $y$ debería subir 8, de 3 a 11. Y así es.

Tú eliges cómo numerar los puntos. Si llamas punto 1 a $(6, 11)$, ambas restas se invierten:

$$m = \frac{3 - 11}{2 - 6} = \frac{-8}{-4} = 2$$

Tanto Δy como Δx cambian de signo, así que el resultado se mantiene. Invertir el orden en un solo lugar lo estropea: $11 - 3$ sobre $2 - 6$ da $\frac{8}{-4} = -2$, una recta inclinada hacia el lado equivocado. El punto que va primero en el numerador debe ir primero también en el denominador.

Las pendientes negativas salen de la misma fórmula. Para $(1, 7)$ y $(4, 1)$:

$$m = \frac{1 - 7}{4 - 1} = \frac{-6}{3} = -2$$

En cada paso hacia la derecha, $y$ baja 2, así que en tres pasos pasa de 7 a 1.

La pendiente de una recta es la misma entre dos cualesquiera de sus puntos: $(4, 7)$ también está en la primera recta, y junto con $(2, 3)$ da de nuevo $\frac{4}{2} = 2$. Esa tasa constante es lo que hace recta a una recta.

Leer la pendiente en una gráfica

En una gráfica cuentas en lugar de restar. Elige dos puntos de coordenadas enteras (lugares donde la recta pasa exactamente por un cruce de la cuadrícula) y cuenta desde el punto de la izquierda hasta el de la derecha: unidades hacia arriba o hacia abajo para Δy, unidades hacia la derecha para Δx. Al ir de izquierda a derecha, Δx siempre es positivo, así que solo Δy decide el signo.

Toda recta entra en uno de estos cuatro casos:

Recta en la gráfica	Ejemplo	Δy sobre Δx	Pendiente
Sube de izquierda a derecha	$y = 2x + 1$	positivo sobre positivo	positiva
Baja de izquierda a derecha	$y = -3x + 4$	negativo sobre positivo	negativa
Horizontal	$y = 5$	0 sobre cualquier Δx	0
Vertical	$x = 5$	cualquier Δy sobre 0	indefinida

Las dos últimas filas se confunden con facilidad porque ambas incluyen un cero. En una recta horizontal $y = c$, todos los puntos tienen el mismo valor de y, así que Δy es 0, y 0 dividido entre un Δx distinto de cero es 0. La recta tiene pendiente, y esa pendiente es cero.

En una recta vertical $x = c$, todos los puntos tienen el mismo valor de x, así que Δx es 0, y la división entre cero no está definida. En términos de tasa, la recta nunca da un paso en $x$, así que «cambio en $y$ por paso de $x$» no tiene respuesta. Si oyes que una recta vertical «no tiene pendiente», entiéndelo como pendiente indefinida, no como cero.

Ecuación explícita: y = mx + b

La ecuación explícita (en buena parte de Latinoamérica, forma pendiente-ordenada al origen; en España suele escribirse y = mx + n) deja a la vista los dos números clave de una recta:

$$y = mx + b$$

Aquí $m$ es la pendiente, y $b$ es el valor de $y$ cuando $x = 0$, donde la recta corta el eje y. Ese valor es la ordenada en el origen, y en problemas aplicados suele ser una cantidad inicial.

Supón que una tarifa de móvil cuesta 15 € al mes más 2 € por cada gigabyte de datos. Con $x$ gigabytes y una factura de $y$ euros:

$$y = 2x + 15$$

Si no usas datos, pagas 15 €, la ordenada en el origen. Cada gigabyte añade 2 €, la pendiente, así que 5 gigabytes cuestan $2(5) + 15 = 25$ euros. Para representar la recta, marca $(0, 15)$ y luego avanza 1 a la derecha y sube 2, una y otra vez.

A menudo la ecuación viene dada en forma general, $Ax + By = C$, donde la pendiente queda oculta. Despeja $y$ y aparece:

$$y = -\frac{A}{B}x + \frac{C}{B}$$

Así, la pendiente es $-\frac{A}{B}$ siempre que $B \neq 0$. Para $3x + 4y = 12$, resta $3x$ en ambos miembros y divide entre 4: $y = -\frac{3}{4}x + 3$. La pendiente es $-\frac{3}{4}$ y la ordenada en el origen es 3.

Los puntos de corte con los ejes lo confirman: la recta pasa por $(0, 3)$ y $(4, 0)$, y $\frac{0 - 3}{4 - 0} = -\frac{3}{4}$. Cuando $B = 0$, la ecuación es $Ax = C$, una recta vertical, justo el caso en que $-\frac{A}{B}$ dividiría entre cero.

Ecuación punto-pendiente: partir de un punto conocido

A menudo conoces la pendiente y un punto, pero no la ordenada en el origen. La ecuación punto-pendiente usa exactamente esa información:

$$y - y_1 = m(x - x_1)$$

En palabras: desde el punto conocido $(x_1, y_1)$, $y$ cambia $m$ por cada paso en $x$. Es la fórmula de la pendiente reordenada: para cualquier otro punto $(x, y)$ de la recta, $\frac{y - y_1}{x - x_1} = m$, y multiplicar ambos miembros por $x - x_1$ da la ecuación punto-pendiente.

Halla la recta con pendiente 3 que pasa por $(2, 5)$:

$$y - 5 = 3(x - 2)$$

Esa ya es una respuesta correcta. Para pasarla a la ecuación explícita, aplica la propiedad distributiva y luego suma 5 en ambos miembros:

$$y - 5 = 3x - 6$$ $$y = 3x - 1$$

Comprueba con el punto conocido: $3(2) - 1 = 5$.

Una recta que pasa por dos puntos necesita un paso más. Para $(2, 3)$ y $(6, 11)$ la pendiente es 2, como se calculó antes, así que $y - 3 = 2(x - 2)$, que se simplifica a $y = 2x - 1$. El otro punto lo confirma: $2(6) - 1 = 11$.

Elige la forma que corresponda a lo que sabes. La ecuación explícita conviene para representar la recta y para cualquier problema con un valor inicial, como la tarifa de móvil. La ecuación punto-pendiente es la más rápida a partir de un punto y una pendiente, o de dos puntos. La forma general conserva coeficientes enteros, permite hallar rápido los dos puntos de corte con los ejes y deja las ecuaciones listas para el método de eliminación.

Rectas paralelas y perpendiculares

Dos rectas con la misma pendiente suben al mismo ritmo, así que la distancia vertical entre ellas nunca cambia. Si sus ordenadas en el origen son distintas, son paralelas y nunca se cortan: $y = 2x + 1$ y $y = 2x - 4$ tienen la misma $m$ y distinta $b$.

Las rectas perpendiculares siguen una regla menos evidente. Cuando ninguna es vertical, sus pendientes son inversas y de signo contrario: se invierte la fracción y se cambia el signo. Dicho de otro modo, el producto de las dos pendientes es $-1$. A la pendiente 2 le corresponde $-\frac{1}{2}$, y a $-\frac{3}{4}$ le corresponde $\frac{4}{3}$.

La regla proviene de girar un paso. Un paso a lo largo de una recta con pendiente 2 es Δx = 1, Δy = 2. Gira ese paso un cuarto de vuelta en sentido antihorario y los dos números intercambian su lugar, y uno de ellos cambia de signo: Δx pasa a ser $-2$ y Δy, 1. La nueva pendiente es $\frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$.

Así, la recta perpendicular a $y = 2x - 1$ que pasa por $(4, 1)$ tiene pendiente $-\frac{1}{2}$: $y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 4)$, es decir, $y = -\frac{1}{2}x + 3$. La excepción de las rectas verticales es real: una recta horizontal y una recta vertical son perpendiculares, pero la vertical no tiene pendiente que multiplicar. La sección de OpenStax sobre funciones lineales resuelve más ejemplos de rectas paralelas y perpendiculares y ofrece más práctica para escribir la ecuación de una recta.

Hacia dónde lleva la pendiente

Una recta tiene la misma pendiente en todas partes; una curva, no. El cociente Δy/Δx entre dos puntos de una curva sigue funcionando, y da la tasa de variación media: la pendiente de la recta secante que pasa por ambos puntos. Para $f(x) = x^2$ entre $x = 1$ y $x = 3$:

$$\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{9 - 1}{2} = 4$$

Desliza el segundo punto hacia $x = 1$ y la tasa media cambia: 3 en el intervalo de 1 a 2, 2,5 de 1 a 1,5, 2,1 de 1 a 1,1. Los valores se acercan a 2, la pendiente de la recta tangente en $x = 1$. Esa pendiente límite es la derivada, y nuestra guía de derivadas construye el cálculo a partir de esta idea.

Más cerca del álgebra, una pendiente constante es lo que hace lineal a una función lineal, como muestra nuestra guía de funciones junto con las demás formas comunes. Y como cada ecuación lineal con dos incógnitas representa una recta, las pendientes predicen cómo se comporta un sistema de ecuaciones: dos rectas con pendientes distintas se cortan exactamente una vez, las de igual pendiente y distinta ordenada en el origen nunca se cortan, y dos ecuaciones de la misma recta comparten todos sus puntos.

Errores comunes con la pendiente

• Δx sobre Δy. Dividir el cambio horizontal entre el vertical da el inverso, $\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ en lugar de 2 para el primer par de puntos. Como $y$ cambió 8 mientras $x$ cambiaba 4, la pendiente tenía que ser mayor que 1.
• Puntos en distinto orden. Empezar las restas del numerador y del denominador con puntos distintos invierte el signo. Numera primero los puntos.
• Signos perdidos con coordenadas negativas. Para $(-3, -4)$ y $(1, 4)$, Δy es $4 - (-4) = 8$, no 0, y Δx es $1 - (-3) = 4$, así que la pendiente es 2. Pon entre paréntesis cada coordenada negativa que sustituyas.
• Llamar pendiente cero a una recta vertical. Un suelo plano tiene pendiente cero. Una pared tiene pendiente indefinida.
• Confundir la ordenada en el origen con la inclinación. La recta $y = 0.5x + 100$ empieza alta pero sube despacio, mientras que $y = 3x + 1$ empieza baja y sube seis veces más rápido. La ordenada en el origen desplaza una recta hacia arriba o hacia abajo; solo $m$ cambia su inclinación.

Practica el paso de una forma a otra

Toma una recta y escríbela en cada forma: dos puntos, una gráfica, $y = mx + b$, la ecuación punto-pendiente y la forma general. Pasa de una a otra hasta que cada conversión sea rutina, y mezcla rectas horizontales y verticales para que un cero en el numerador y un cero en el denominador dejen de parecerte lo mismo.

Math Zen no tiene un ejercicio específico de pendiente, así que la práctica más cercana se reparte en dos temas: Análisis de gráficas para los puntos de corte con los ejes y la lectura de gráficas, y Álgebra para resolver ecuaciones y sistemas lineales, donde las pendientes deciden si dos rectas se cortan. Las ecuaciones lineales y la pendiente también aparecen en el SAT, el ACT y el GED; nuestra guía de matemáticas para el SAT muestra dónde se sitúan en ese examen.

Cada fórmula de este artículo responde a la pregunta de la señal de tráfico: ¿cuánto cambia $y$ cuando $x$ da un paso? Cuando se te olvide una fórmula, hazles esa pregunta a los números que tienes delante y reconstrúyela.