Ley de senos y ley de cosenos: cuál usar y cuándo

Un topógrafo conoce dos lados de un terreno y el ángulo que forman, y necesita el tercer lado. Un piloto conoce dos ángulos del triángulo que forma con dos radiobalizas, y una distancia. Ninguno de los dos triángulos tiene un ángulo recto, así que SOH CAH TOA no sirve de nada. Para eso están la ley de senos y la ley de cosenos, las dos reglas que resuelven cualquier triángulo en cuanto conoces tres de sus elementos (siempre que uno de ellos sea un lado).

Lo difícil casi nunca es la fórmula. Lo difícil es elegir qué ley usar y darte cuenta de la única situación en la que la calculadora te devuelve en silencio un ángulo equivocado. Esta guía empieza con una tabla de decisión, resuelve un ejemplo por cada caso y después lleva un mismo triángulo por todos los desenlaces del caso ambiguo cambiando un solo lado. Si el seno y el coseno todavía te parecen botones y no ideas, la guía de trigonometría los reconstruye primero.

Notación en todo el artículo: los ángulos A, B y C están opuestos a los lados a, b y c.

Qué ley usar: parte de lo que te dan

Todo problema de triángulos con solución te da tres elementos. Identifica el patrón y la ley se deduce sola:

Datos, ley a usar y primera incógnita

Te dan	Patrón	Ley a usar	Qué hallar primero
Dos ángulos y un lado que no está entre ellos	LAA	Ley de senos	El tercer ángulo (180° menos los otros dos) y luego los lados
Dos ángulos y el lado comprendido entre ellos	ALA	Ley de senos	El tercer ángulo y luego los lados
Dos lados y un ángulo que no está entre ellos	LLA	Ley de senos, con cuidado	El ángulo opuesto al segundo lado conocido; comprueba si hay 0, 1 o 2 triángulos
Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos	LAL	Ley de cosenos	El tercer lado
Los tres lados	LLL	Ley de cosenos	El ángulo mayor (opuesto al lado más largo)
Los tres ángulos	AAA	Ninguna	No hay solución única: sirven triángulos semejantes de cualquier tamaño

Esta división sigue el texto de precálculo de OpenStax: la ley de senos cubre ALA, LAA y LLA, y la ley de cosenos es la herramienta para los dos casos que la ley de senos no puede resolver, LAL y LLL (OpenStax, law of sines; OpenStax, law of cosines).

El motivo se ve enseguida en las fórmulas. La ley de senos compara cada lado con su ángulo opuesto:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$

Para usarla necesitas al menos una pareja completa: un lado junto con el ángulo que tiene enfrente. LAL y LLL nunca te dan una pareja completa, así que hace falta otra regla para arrancar.

La ley de cosenos: Pitágoras más una corrección

La ley de cosenos, en sus tres formas, es

$$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\cos A$$ $$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2ac\cos B$$ $$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab\cos C$$

Mira la última con $C = 90^{\circ}$. Entonces $\cos C = 0$, el término final se anula y te queda $a^{2} + b^{2} = c^{2}$. La ley de cosenos es el teorema de Pitágoras con un término de corrección para los ángulos que no son rectos. OpenStax llama "Teorema de Pitágoras generalizado" a la identidad de la que parte. La idea es antigua: las proposiciones 12 y 13 del Libro II de los Elementos de Euclides la demuestran para triángulos obtusángulos y acutángulos en lenguaje puramente geométrico, mucho antes de que existieran los cosenos (Euclid II.12, Clark University edition).

La corrección tiene un significado claro. Cuando C es agudo, $\cos C$ es positivo, así que c sale más corto que el valor pitagórico. Cuando C es obtuso, $\cos C$ es negativo y el signo menos convierte la corrección en una suma, así que c sale más largo. Abre el ángulo y el lado opuesto se estira; ciérralo y se encoge.

Ejemplo resuelto de LAL

Dos lados miden $b = 8$ y $c = 11$, y el ángulo entre ellos es $A = 40^{\circ}$. Halla el resto.

Tercer lado. Sustituye en la forma que contiene el ángulo conocido:

$$a^{2} = 8^{2} + 11^{2} - 2(8)(11)\cos 40^{\circ} = 185 - 134.82 = 50.18$$

de modo que $a \approx 7.08$. Para comparar, un ángulo recto en A habría dado $\sqrt{185} \approx 13.60$; el ángulo de 40° lo reduce casi a la mitad.

Ángulos restantes. Ahora ya hay una pareja completa (a con A), así que la ley de senos funciona. Despeja el ángulo opuesto al menor de los otros dos lados, que es b:

$$\sin B = \frac{8 \sin 40^{\circ}}{7.08} \approx 0.7260, \quad B \approx 46.55^{\circ}$$

Entonces $C = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 46.55^{\circ} = 93.45^{\circ}$.

Fíjate en que C es obtuso. Si hubieras usado la ley de senos para C, el arcoseno de la calculadora habría devuelto 86,55°, el ángulo agudo con el mismo seno, y todos los números siguientes habrían salido mal. Hallar primero el ángulo menor lo evita: en cualquier triángulo, el ángulo opuesto a un lado más corto es menor, y como mucho un ángulo puede medir 90° o más, así que el ángulo opuesto al lado más corto siempre es agudo.

Los mismos datos también dan el área directamente, con la mitad del producto de dos lados por el seno del ángulo que forman (la fórmula del área de la sección de OpenStax sobre la ley de senos): $\tfrac{1}{2}(8)(11)\sin 40^{\circ} \approx 28.28$.

LLL: halla primero el ángulo mayor

Si te dan los tres lados, reordena la ley de cosenos para despejar el coseno:

$$\cos C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2ab}$$

Toma el triángulo de lados 5, 7 y 9. El lado más largo es 9, así que empieza por el ángulo opuesto a él:

$$\cos C = \frac{25 + 49 - 81}{2(5)(7)} = \frac{-7}{70} = -0.1, \quad C \approx 95.74^{\circ}$$

El coseno negativo te dice de inmediato que C es obtuso. Ahora la ley de senos es segura para los demás, porque los otros dos ángulos tienen que ser agudos:

$$\sin A = \frac{5 \sin 95.74^{\circ}}{9} \approx 0.5528, \quad A \approx 33.56^{\circ}$$

y $B = 180^{\circ} - 95.74^{\circ} - 33.56^{\circ} = 50.70^{\circ}$. Una comprobación con la ley de cosenos para B da los mismos 50,70°.

Si lo haces en el otro orden, aparece la trampa. Halla primero A y luego usa la ley de senos para C: obtienes $\sin C \approx 0.9950$ y el arcoseno dice 84,26°. El ángulo verdadero es su suplementario, 95,74°. Los apuntes de la Universidad de Houston lo dicen con claridad: si puedes elegir, "normalmente es mejor hallar primero el ángulo mayor" (UH Math 1330, section 7.3).

La ley de senos: LAA y ALA

Cuando conoces dos ángulos, el tercero sale gratis: suman 180°. Después, la ley de senos es una simple proporción.

Digamos que $A = 40^{\circ}$, $B = 60^{\circ}$ y $a = 10$. Entonces $C = 80^{\circ}$ y la razón común es

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{10}{\sin 40^{\circ}} \approx 15.557$$

Multiplícala por cada seno: $b \approx 15.557 \times \sin 60^{\circ} \approx 13.47$ y $c \approx 15.557 \times \sin 80^{\circ} \approx 15.32$.

Aquí no hay nada ambiguo, porque todos los ángulos se hallaron por resta y no con un arcoseno. ALA funciona igual: restas para obtener el tercer ángulo, ya tienes un lado con su ángulo opuesto y la proporción hace el resto.

El caso ambiguo (LLA): un triángulo, tres desenlaces

LLA es donde los estudiantes pierden puntos. OpenStax lo describe como el caso en que los datos LLA "pueden dar una o dos soluciones, o incluso ninguna". La forma más limpia de ver por qué es mantener todo fijo salvo un lado.

Fija el ángulo $A = 30^{\circ}$ y el lado $b = 10$. Imagina el lado b tendido en el suelo desde el vértice C hasta el vértice A, con el ángulo de 30° en A. El lado a cuelga de C y oscila como una puerta hasta tocar la recta que sale de A. Que llegue a tocarla, y dónde, depende solo de su longitud.

La longitud clave es la altura desde C hasta esa recta:

$$h = b \sin A = 10 \sin 30^{\circ} = 5$$

Ahora cambia solo a. Cada fila de la tabla se calculó a partir de $\sin B = \dfrac{b \sin A}{a}$ y se comprobó con 12 cifras significativas:

Desenlaces de LLA con A = 30°, b = 10

Lado a	Comparado con h = 5 y b = 10	$\sin B$	Triángulos	Ángulo B	Ángulo C	Lado c
4	menor que h	1,25	0	ninguno	ninguno	ninguno
5	igual a h	1	1	90°	60°	8,66
8	entre h y b	0,625	2	38,68° o 141,32°	111,32° u 8,68°	14,91 o 2,42
12	al menos b	0,4167	1	24,62°	125,38°	19,57

Léela fila por fila:

• a = 4. La puerta es más corta que la altura, así que nunca llega al suelo. El álgebra dice lo mismo: $\sin B = 1.25$, y ningún ángulo tiene un seno mayor que 1. No hay triángulo.
• a = 5. La puerta apenas toca el suelo, en vertical. Un triángulo, con ángulo recto en B.
• a = 8. La puerta es más larga que la altura pero más corta que b, así que toca el suelo en dos puntos, uno a cada lado del pie de la altura. Ambos son triángulos reales. El arcoseno da 38,68°; la otra respuesta es su suplementario, $180^{\circ} - 38.68^{\circ} = 141.32^{\circ}$, y como $30^{\circ} + 141.32^{\circ} < 180^{\circ}$ queda sitio para un tercer ángulo. Salen un triángulo ancho con c = 14,91 y uno estrecho con c = 2,42.
• a = 12. La puerta es más larga que b, así que su segundo punto de aterrizaje caería detrás de A, fuera del triángulo. El suplementario 155,38° más 30° ya pasa de 180°, de modo que se descarta. Un triángulo.

Estas condiciones coinciden con las cuatro figuras de la sección de OpenStax: a menor que la altura no da triángulo, a igual a la altura da un triángulo rectángulo, a entre la altura y b da dos, y a igual o mayor que b da uno (para un ángulo A agudo).

La rutina que conviene conservar: después de cualquier arcoseno en un problema LLA, anota también el suplementario y comprueba si cabe con el ángulo dado. Si cabe, hay dos respuestas, y el problema suele pedir ambas. Si el propio A es obtuso, la imagen es más sencilla: a tiene que ser mayor que b, o no existe ningún triángulo.

Errores frecuentes

Usar la ley de senos en LAL o LLL. Sin una pareja completa de lado y ángulo opuesto, la proporción tiene dos incógnitas. Empieza con la ley de cosenos.

Olvidar el segundo triángulo de LLA. La calculadora solo devuelve el arcoseno agudo. Comprueba siempre su suplementario.

Hallar un ángulo obtuso con arcoseno. En LAL y LLL, halla el ángulo mayor con la ley de cosenos, o halla primero los ángulos menores con la ley de senos.

Calculadora en modo radianes. $\cos 40$ en radianes vale aproximadamente $-0.667$, no $0.766$. Si un lado te sale más largo que la suma de los otros dos, revisa el modo.

Redondear demasiado pronto. Conserva toda la precisión del lado que acabas de hallar antes de usarlo en el paso siguiente; las respuestas de arriba se llevaron con precisión completa y se redondearon solo al final.

Problemas de práctica

Intenta resolver cada uno antes de leer la respuesta.

1. LAL. $b = 6$, $c = 9$, $A = 60^{\circ}$. Halla a.
2. LLL. Un triángulo tiene lados 4, 6 y 8. Halla su ángulo mayor.
3. LLA. $A = 40^{\circ}$, $b = 12$, $a = 9$. ¿Cuántos triángulos cumplen los datos y qué valores puede tener c?

Respuestas.

1. $a^{2} = 36 + 81 - 108\cos 60^{\circ} = 63$, así que $a = \sqrt{63} \approx 7.94$.
2. El ángulo mayor es el opuesto a 8: $\cos C = \dfrac{16 + 36 - 64}{48} = -0.25$, así que $C \approx 104.48^{\circ}$.
3. La altura es $12 \sin 40^{\circ} \approx 7.71$, y 9 está entre 7,71 y 12, así que hay dos triángulos. $\sin B \approx 0.8571$ da $B \approx 58.99^{\circ}$ o $121.01^{\circ}$, luego $C \approx 81.01^{\circ}$ o $18.99^{\circ}$, y $c \approx 13.83$ o $4.56$.

La práctica de trigonometría de Math Zen incluye la ley de senos y de cosenos junto a las razones trigonométricas, las identidades y las funciones inversas, con números nuevos en cada intento, de modo que elegir entre las dos leyes acabe siendo automático. El mismo coseno reaparece en el producto escalar, que la guía de vectores explica como siguiente paso natural.

Preguntas frecuentes

¿Cuándo se usa la ley de senos y cuándo la ley de cosenos?

Usa la ley de senos para LAA, ALA y LLA. Usa la ley de cosenos para LAL y LLL, donde ningún lado viene con su ángulo opuesto.

¿La ley de cosenos es lo mismo que el teorema de Pitágoras?

Es la versión general. Si el ángulo es de 90°, el término $-2ab\cos C$ desaparece y queda $a^{2} + b^{2} = c^{2}$.

¿Qué es el caso ambiguo de la ley de senos?

Los datos LLA pueden describir cero, uno o dos triángulos. Compara el lado a con la altura $h = b \sin A$ y con el lado b para saber cuál ocurre.

¿Por qué conviene hallar primero el ángulo mayor?

Un ángulo y su suplementario tienen el mismo seno, así que un arcoseno no distingue 84° de 96°. El ángulo mayor es el único que puede ser obtuso; hállalo con la ley de cosenos y los demás ya son seguros.