Uneigentliche Integrale: Konvergenz und Rechenbeispiele

Ein Integral kann eine vertraute Stammfunktion haben und trotzdem keinen endlichen Wert. Der fehlende Schritt ist ein Grenzwert. Wenn das Intervall unendlich weit reicht oder die Funktion an einer Grenze oder innerhalb des Intervalls unbeschränkt wird, darfst du nicht einfach die angegebenen Grenzen in die Stammfunktion einsetzen. Ersetze zuerst die problematische Grenze durch eine gewöhnliche Variable. Prüfe danach, was geschieht, wenn sich diese Variable der Grenze nähert.

Damit ist das Integral uneigentlich. Das Wort beschreibt die Aufgabe, nicht die Antwort. Manche uneigentlichen Integrale konvergieren gegen eine endliche Zahl, andere divergieren. Diese Anleitung stellt Beispiele paarweise nebeneinander, damit du den entscheidenden Schritt erkennst. Falls die Schreibweise des bestimmten Integrals noch ungewohnt ist, beginne mit unserer Einführung in Integrale. Der Grenzwertleitfaden erklärt die Operation, die jedes folgende Beispiel entscheidet.

Zuerst die uneigentliche Stelle erkennen

Zwei Fälle sind besonders häufig. Ein unendliches Intervall besitzt eine Grenze wie $+\infty$ oder $-\infty$. Ein unbeschränkter Integrand wird an einem Punkt beliebig groß, selbst wenn beide geschriebenen Grenzen endlich sind. Dieser Punkt kann am Rand oder im Inneren des Intervalls liegen.

OpenStax Calculus, Band 2, §3.7 definiert beide Fälle mithilfe von Grenzwerten. Die Unterscheidung ist wichtig: Wer $\infty$ wie eine Zahl behandelt oder über eine innere Polstelle hinweg in einem Zug auswertet, kann eine plausibel aussehende, aber falsche Antwort erhalten.

Ein endlicher Grenzwert bedeutet Konvergenz. Wächst der Ausdruck unbegrenzt oder nähert er sich aus anderem Grund keinem endlichen Wert, liegt Divergenz vor. Dieselbe Stammfunktion kann in beiden Ergebnissen vorkommen. Die Stammfunktion zu finden ist also nur ein Teil der Lösung.

Vier Schritte für jede Aufgabe

1. Finde jede verdächtige Grenze. Dazu gehören ein unendliches Ende, eine Nullstelle des Nenners, ein Logarithmus außerhalb seines Definitionsbereichs und jede andere Stelle, an der die Funktion unbeschränkt wird. Bei einer Singularität im Inneren musst du vor dem Integrieren aufteilen.

2. Ersetze eine problematische Grenze durch eine endliche Variable. Schreibe das daraus entstehende eigentliche Integral. Ersetze etwa $\int_1^{\infty} f(x)\,dx$ durch $\int_1^R f(x)\,dx$ mit endlichem $R>1$.

3. Berechne dieses eigentliche Integral. Hier ist eine Stammfunktion nützlich. Prüfe ihren Definitionsbereich und die Vorzeichen, bevor du die endlichen Grenzen einsetzt. Ist direktes Integrieren schwierig, kann ein Vergleich die Konvergenz trotzdem entscheiden.

4. Bilde den Grenzwert und nenne das Ergebnis. Gib nicht nur den Ausdruck für ein endliches $R$ oder $\varepsilon$ ab. Schreibe den Grenzwert hin und sage ausdrücklich konvergent oder divergent. Nach dem Aufteilen an einer inneren Singularität erledigst du das auf jeder Seite unabhängig.

Diese Reihenfolge macht die Lösung überprüfbar. Man sieht, ob die richtige Stelle geprüft wurde und ob die letzte Zahl tatsächlich aus einem Grenzwert stammt.

Im Unendlichen: eine endliche und eine unendliche Fläche

Beginnen wir mit einem konvergenten Beispiel:

$$\int_1^{\infty}\frac{1}{x^2}\,dx =\lim_{R\to\infty}\int_1^R x^{-2}\,dx =\lim_{R\to\infty}\left[-\frac1x\right]_1^R =\lim_{R\to\infty}\left(1-\frac1R\right)=1.$$

Das Intervall endet nie. Die zusätzlich hinzukommende Fläche wird aber so klein, dass sich die Summe 1 nähert. Ändere nun nur die Potenz im Nenner:

$$\int_1^{\infty}\frac1x\,dx =\lim_{R\to\infty}\int_1^R\frac1x\,dx =\lim_{R\to\infty}[\ln x]_1^R =\lim_{R\to\infty}\ln R=+\infty.$$

Dieses Integral divergiert. Dass $1/x$ gegen null geht, macht seine gesamte Fläche noch nicht endlich. Die Funktion fällt zu langsam ab. Genau das zeigt der Vergleich: Beide Integranden gehen gegen null und haben einfache Stammfunktionen, doch nur einer liefert einen endlichen Grenzwert für das Integral.

Für $\int_1^{\infty}x^{-p}\,dx$ liegt die Grenze bei $p=1$. Das Integral konvergiert für $p>1$ und divergiert für $p\le1$. Diese Regel folgt aus der Grenzwertrechnung, einschließlich des logarithmischen Falls $p=1$. Wenn du dir bei Exponent oder Intervall unsicher bist, schreibe den Grenzwert erneut aus, statt die Regel blind anzuwenden.

Am Rand: dieselbe Grenzfrage von der anderen Seite

Ein Integral kann auch bei zwei endlichen geschriebenen Grenzen uneigentlich sein. Bei $x=0$ ist $x^{-1/2}$ unbeschränkt. Ersetze die untere Grenze durch $\varepsilon>0$:

$$\int_0^1\frac1{\sqrt{x}}\,dx =\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{\varepsilon}^1 x^{-1/2}\,dx =\lim_{\varepsilon\to0^+}[2\sqrt{x}]_{\varepsilon}^1 =\lim_{\varepsilon\to0^+}2(1-\sqrt{\varepsilon})=2.$$

Die Funktion wächst am Rand unbegrenzt, doch das Integral konvergiert. Vergleiche damit $1/x$ auf demselben Intervall:

$$\int_0^1\frac1x\,dx =\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{\varepsilon}^1\frac1x\,dx =\lim_{\varepsilon\to0^+}(0-\ln\varepsilon)=+\infty.$$

Dieses Integral divergiert. Setze nicht null in $\ln x$ ein, denn $\ln0$ ist nicht definiert. Der Grenzwert ist die eigentliche mathematische Frage. Das Beispielpaar am Rand ähnelt dem Paar im Unendlichen: Weder die Singularität selbst noch die Existenz einer Stammfunktion entscheidet über Konvergenz.

Im Inneren: nicht über die Lücke hinweg kürzen

Die gefährlichste Abkürzung entsteht, wenn eine Singularität zwischen zwei harmlos wirkenden Grenzen liegt. Betrachte

$$\int_{-1}^{1}\frac1x\,dx.$$

Die Stammfunktion $\ln|x|$ hat bei $-1$ und $1$ denselben Wert. Null aufzuschreiben wirkt verlockend. Doch dieser Schritt überschreitet $x=0$, wo $1/x$ nicht definiert ist. Der Hauptsatz erlaubt keine einzige Subtraktion über diese Unterbrechung hinweg. Untersuche vor einer Wertzuweisung beide Seiten getrennt:

$$\int_{-1}^{0}\frac1x\,dx\qquad\text{und}\qquad\int_0^1\frac1x\,dx.$$

Jede Seite braucht einen eigenen Grenzwert. Links gilt mit $\varepsilon>0$: $\int_{-1}^{-\varepsilon}1/x\,dx=\ln\varepsilon\to-\infty$. Rechts gilt $\int_{\varepsilon}^{1}1/x\,dx=-\ln\varepsilon\to+\infty$. Keine Seite konvergiert gegen einen endlichen Wert. Das ursprüngliche uneigentliche Integral divergiert also.

Mit einer symmetrischen Abschneidung erhält man für jedes positive $\varepsilon$ null. Das definiert jedoch etwas anderes: den Cauchyschen Hauptwert. Er koppelt zwei divergierende Seiten, sodass sie sich aufheben. Er ist nicht der Wert des gewöhnlichen uneigentlichen Integrals. Dieses Arbeitsblatt der University of South Carolina verlangt bei einer inneren Singularität die getrennte Prüfung beider Seiten.

Wenn die Stammfunktion schwierig ist: vergleichen

Nicht bei jedem uneigentlichen Integral möchte man eine Stammfunktion berechnen. Für einen nichtnegativen Integranden kannst du ihn mit einer Funktion vergleichen, deren Verhalten du kennst. Für $x\ge1$ gilt beispielsweise

$$0<\frac1{x^2+1}\le\frac1{x^2}.$$

Da $\int_1^{\infty}1/x^2\,dx$ konvergiert, konvergiert auch das kleinere nichtnegative Integral $\int_1^{\infty}1/(x^2+1)\,dx$. Du hast Konvergenz bewiesen, ohne den exakten Wert zu finden. Der Vergleichssatz in OpenStax, §3.7 erläutert die Voraussetzungen. Die Richtung der Ungleichung ist entscheidend: Unter einer divergierenden Funktion zu liegen sagt allein noch nichts. Eine nichtnegative Funktion unter einer konvergierenden Funktion erbt dagegen die Konvergenz.

Vor der Abgabe die Antwort prüfen

Benenne zum Schluss die problematische Grenze und prüfe deine letzte Zeile. Eine bloße Stammfunktion, direkt eingesetztes $\infty$ oder ein undefiniertes $\ln0$ ist keine fertige Lösung. Bei einer inneren Singularität sind zwei endliche einseitige Grenzwerte nötig. Symmetrisches Aufheben ersetzt diese Prüfung nicht.

Zwei kurze Kontrollen: Konvergiert $\int_2^{\infty}1/x^2\,dx$? Dieselbe Rechnung ergibt $1/2$. Konvergiert $\int_0^1x^{-2}\,dx$? Der Grenzwert am Rand wächst unbegrenzt, also divergiert das Integral. Trotz derselben Potenz sind die problematischen Grenzen und Ergebnisse verschieden. Wenn dich eines überrascht, schreibe das Integral mit endlicher Grenze auf und lass den Grenzwert den Unterschied zeigen.

Der Math-Zen-Leitfaden zu Grenzwerten hilft beim letzten Schritt. Der Leitfaden zur Regel von de l’Hospital erklärt ein Werkzeug für passende Grenzwertformen, ersetzt aber nicht das Erkennen und Aufteilen uneigentlicher Grenzen. Sobald alle problematischen Stellen und die richtigen einseitigen Grenzwerte feststehen, wird die Rechnung wieder zu gewöhnlicher Integralrechnung.