真正有效的心算技巧（以及它們為什麼有效）

你大概看過那種影片。有人在觀眾還來不及拿出計算機之前，就在腦中算出兩個三位數的乘積，留言區滿是「我數學很爛，這根本是魔法」。這不是魔法。做到這件事的人，用的是一小組依數系結構而成立的技巧。一旦你看見結構，神祕感就消失了，速度卻留了下來。

本文不是一份派對把戲的清單。它簡短地巡禮那些在日常生活與限時考試中真正有回報的心算捷徑，並簡單說明每一招為什麼有效。如果你理解為什麼，你就會記得；如果你只背步驟，到下週二就會忘光。

心算為什麼仍然重要

在手機和 Desmos 計算機的年代，問心算是否值得費力，是合理的。誠實的答案是值得，但理由和你國小老師告訴你的不一樣。

重點不是跑贏計算機，而是在多步驟的問題中，讓你的工作記憶保持空閒。每一次你必須停下來費力思考 7 乘以 8 是 54 還是 56，你就耗掉了工作記憶中的一個位置，而那個位置本來應該用來裝較大問題的結構。基本算術流暢的學生解較難的題目比較快，不是因為算術本身比較快，而是因為他們在處理時，較難的問題在腦中保持完整。

這和流暢的讀者比慢速的讀者理解得更多，是同樣的道理，即使兩者最後都能解碼每個字。流暢讓心智空出來去處理意義。

技巧 1：兩位數乘以 11

要把任何兩位數乘以 11，把兩個數字相加，將和放在它們中間。

• 23 乘以 11：拆開 2 和 3，相加得 5，放在中間：253。
• 45 乘以 11：4 加 5 是 9，放在中間：495。
• 72 乘以 11：7 加 2 是 9：792。

如果和是 10 或更大，把 1 進位到最左邊的數字。

• 67 乘以 11：6 加 7 是 13，寫下 3，進位 1：6 加 1 是 7，所以是 737。

為什麼有效： 乘以 11 等於乘以 10 再加上原來的數。23 乘以 10 是 230，加 23 就是 253。「拆開再插入」的技巧，只是把一個數與它自己位移後的版本相加的簡潔寫法。

技巧 2：尾數是 5 的數的平方

任何尾數是 5 的數，它的平方都遵循固定的模式。取 5 前面的數字（或數字組），把它乘以它自己加一，然後在後面接上 25。

• 15 的平方：1 乘以 2 是 2，接上 25：225。
• 25 的平方：2 乘以 3 是 6，接上 25：625。
• 35 的平方：3 乘以 4 是 12，接上 25：1225。
• 65 的平方：6 乘以 7 是 42，接上 25：4225。

為什麼有效： 任何尾數是 5 的數都可以寫成 10n 加 5。把它平方得到 100n 的平方加 100n 再加 25，可以因式分解成 100 乘以 n 乘以 (n 加 1)，再加 25。這正是那個模式：n 乘以 (n 加 1) 放在百位以上，尾端再接上 25。

技巧 3：兩個略小於 100 的數相乘

對於兩個接近 100 的數，先算出各自比 100 少多少，再合起來。

• 96 乘以 97：差額分別是 4 和 3。用其中一個數減去另一個差額（96 減 3，或等價地 97 減 4）得到 93。把兩個差額相乘（4 乘以 3）得到 12。把它們接在一起：9312。
• 98 乘以 95：差額是 2 和 5。98 減 5 是 93。2 乘以 5 是 10。結果：9310。

如果差額的乘積只有一位數，前面補零。

• 99 乘以 98：差額是 1 和 2。99 減 2 是 97。1 乘以 2 是 2，補成 02。結果：9702。

為什麼有效： 把每個數寫成 100 減去一個差額。乘積展開為 10000 減去 100 乘以差額的和，再加上差額的乘積。前兩項等於 100 乘以（一個數減去另一個差額），也就是「交叉相減」那一步。最後一項就是接在後面的乘積。

技巧 4：百分率可以交換

這個與其說是技巧，不如說是換個角度看，但它不斷地幫你節省時間。百分率運算是對稱的：y 的 x% 等於 x 的 y%。

• 75 的 4% 看起來很煩。4 的 75% 顯然是 3。
• 50 的 18% 看起來很煩。18 的 50% 是 9。
• 25 的 8% 就是 8 的 25%，也就是 2。

當你面對百分率的問題時，問問自己交換兩個數之後，是否有一邊變得非常簡單。通常都是如此。

為什麼有效：「Y 的 X%」意思是 X 除以 100 再乘以 Y。乘法不在意順序，所以它等於 Y 除以 100 再乘以 X，也就是「X 的 Y%」。

技巧 5：加倍與減半

要把兩個數相乘，你可以把其中一個加倍、另一個減半，答案不變。當其中一個數很麻煩、另一個是偶數時，這招非常好用。

• 16 乘以 25：把 16 減半得到 8，把 25 加倍得到 50。現在問題變成 8 乘以 50，是 400。
• 14 乘以 35：把 14 減半得到 7，把 35 加倍得到 70。現在是 7 乘以 70，是 490。
• 12 乘以 75：把 12 減半得到 6，把 75 加倍得到 150。現在是 6 乘以 150，是 900。

你可以重複這樣做。24 乘以 25 變成 12 乘以 50，再變成 6 乘以 100，是 600。

為什麼有效： 一個因數乘以 2、另一個除以 2，乘積保持不變，因為這兩個運算互相抵銷。你只是把同一個乘法換成一種比較友善的寫法。

技巧 6：「湊整再調整」

對於涉及接近整數值的心算減法與加法，先湊整，最後再調整。

• 472 減 199：把 199 進位到 200，相減得到 272，再加回多減的 1：273。
• 583 加 297：把 297 進位到 300，相加得到 883，再減去多加的 3：880。
• 845 減 398：把 398 湊成 400，相減得到 445，加回 2：447。

這是這份清單中槓桿效益最高的單一技巧。現實生活中的算術充滿接近整數的麻煩數字（以 99 結尾的價格、以 9 結尾的百分率、接近整點的時間間隔），而湊整再調整這一招全都能處理。

為什麼有效： 你利用的是結合律：a 減 b 等於 a 減 (b 加 delta) 再加 delta。把 b 湊整，就把一個麻煩的減法，變成一個簡單的減法加上一個微小的修正。

技巧 7：用估算做合理性檢查

這是讓其他技巧保持誠實的一招。在你確定答案之前，用湊整的數字做五秒鐘的估算，看看精確的答案是否在合理的範圍內。

如果你算 47 乘以 23，得到類似 1081 的結果，問自己：「47 大約是 50，23 大約是 20，所以答案應該接近 1000。」1081 是合理的。如果你得到的是 10810 或 108，你會立刻發現小數點滑掉了，或是多寫了一個零。

估算是最被低估的心算技能，因為它不像數學，而像常識。但在每一份標準化測驗中，錯誤的選項都是設計來讓跳過合理性檢查的學生覺得看起來合理。兩秒鐘的估算，淘汰陷阱答案的速度比任何代數都快。

怎麼練習才不會練到倦怠

光是讀這些技巧，不會讓它們變成自動反應。它們要比長算式更快使用時才有用，而這需要刻意的、低壓力的反覆練習。有兩個原則：

以很小的劑量練習。 每天五分鐘的心算，產生的流暢度比每週一小時的練習更快。原因與一般的間隔重複相同：你的大腦是在練習之間，而不是練習當中，鞏固技能。

混合各種技巧。 不要連續十分鐘只練乘以 11 的題目。在同一次練習裡，混入平方、百分率與湊整再調整的題目。交錯練習在當下感覺比較難，但它培養的是「這裡該用哪一招？」的辨識能力，這才是真正的重點。

如果限時練習讓你緊張，就從不計時開始。在壓力反應正在扼殺你準確度的情況下練習速度，沒有任何價值。當計時器本身成為障礙時該怎麼做，請見我們的數學焦慮文章。

Math Zen 能幫上什麼

心算流暢度是短時間、高頻率使用 App 最自然的用途之一。Math Zen 的禪模式是一個平靜的空間，在你還在學技巧時，不用計時就能練習算術；等某個技巧感覺變得自動之後，計時模式讓你測試它在壓力下是否真的省時間。分級進階系統會讓難度保持在有成效的區間，你就不會把時間浪費在太簡單的題目上，或是硬撐著做太難的題目。

對大多數學習者來說，每天十分鐘、持續兩到三週，就足以讓上述技巧變得自然。在那之後，它們會變得隱形：你不再注意到自己正在使用它們，而這正是它們開始在你遇到的其他每一道數學題中產生回報的時候。

重點整理

最好的心算技巧不是記憶力的表演。它們是對算術的小幅重述，利用數字的性質：乘以 10 再加上原數、在接近整數的值附近拆分、交換百分率、加倍與減半。每一招都很短，每一招都有道理，而每一招只要每天花幾分鐘練習，就會變成自動的。

先從這份清單挑兩個開始。在日常生活中用一個星期，排隊或核對收據時在腦中用。到下個月，它們就會成為背景技能，你會往更難的題目邁進，並有更多工作記憶可以留給真正的思考。