重積分

重積分は一変数の積分を二変数・三変数の関数に拡張し、平面上および空間内の領域にわたる量を計算します。このトピックでは、デカルト座標と極座標における二重積分・三重積分を扱い、面積・体積・質量・重心の計算に応用します。

重積分は、物理学では質量や慣性モーメントの計算に、確率論では同時分布に、工学では領域にわたる応力や流体の流れの解析に使われます。

練習のコツ

• 1積分区間を設定する前に積分領域をスケッチしましょう。内側と外側の境界の選び方の誤りを防げます。
• 2領域や被積分関数が x² + y² を含む場合は極座標 (r, θ) に変換し、ヤコビアン因子 r を忘れずに含めましょう。
• 3三重積分では、領域が軸対称や球対称を持つ場合、円筒座標や球座標を検討すると計算を大幅に簡略化できます。